Номер 913, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

913. Прямая, параллельная стороне треугольника длиной 6 см, делит его на две фигуры, площади которых относятся как $1 : 3$. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона, к которой проведена параллельная прямая, равна $AC = 6$ см. Проведена прямая $MN$, параллельная стороне $AC$ (с точками $M$ на стороне $AB$ и $N$ на стороне $BC$). Эта прямая отсекает от исходного треугольника малый треугольник $MBN$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению длин их соответственных сторон:

$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$

Прямая $MN$ делит треугольник $ABC$ на две фигуры: треугольник $MBN$ и трапецию $AMNC$. По условию задачи, отношение их площадей равно $1:3$. Это соотношение может быть истолковано двумя способами.

Случай 1: Отношение площади треугольника $MBN$ к площади трапеции $AMNC$ равно $1:3$.

Пусть площадь треугольника $MBN$ равна $S$, тогда площадь трапеции $AMNC$ равна $3S$. Площадь всего треугольника $ABC$ будет равна их сумме: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC} = S + 3S = 4S$.

Найдем отношение площадей малого и большого треугольников: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{S}{4S} = \frac{1}{4}$.

Тогда квадрат отношения искомого отрезка $MN$ к стороне $AC$ равен $\frac{1}{4}$: $\left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Отсюда находим отношение сторон: $\frac{MN}{AC} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Подставив известную длину $AC = 6$ см, находим длину отрезка $MN$: $MN = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Случай 2: Отношение площади треугольника $MBN$ к площади трапеции $AMNC$ равно $3:1$.

Пусть площадь трапеции $AMNC$ равна $S$, тогда площадь треугольника $MBN$ равна $3S$. Площадь всего треугольника $ABC$ будет равна $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC} = 3S + S = 4S$.

Найдем отношение площадей малого и большого треугольников: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{3S}{4S} = \frac{3}{4}$.

Тогда квадрат отношения искомого отрезка $MN$ к стороне $AC$ равен $\frac{3}{4}$: $\left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \frac{3}{4}$.

Отсюда находим отношение сторон: $\frac{MN}{AC} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставив известную длину $AC = 6$ см, находим длину отрезка $MN$: $MN = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}$ см.

Так как в условии не уточнено, какая из двух фигур (треугольник или трапеция) имеет меньшую площадь, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 3 см или $3\sqrt{3}$ см.