Номер 915, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

915. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $AB : BM = 5 : 3$, $AD > BC$, а площадь треугольника $AMD$ равна $32 \text{ см}^2$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$:

1. Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle MBC$ и $\angle MAD$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$, следовательно, $\angle MBC = \angle MAD$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Найдем коэффициент подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон.

Из условия известно, что $AB : BM = 5 : 3$.
Пусть $BM = 3x$, тогда $AB = 5x$.
Сторона $AM$ треугольника $\triangle AMD$ равна сумме отрезков $AB$ и $BM$:
$AM = AB + BM = 5x + 3x = 8x$.
Соответственной стороной к $AM$ в треугольнике $\triangle BMC$ является сторона $BM$.
Коэффициент подобия $k$ (от большего треугольника к меньшему) равен: $k = \frac{AM}{BM} = \frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AMD}}{S_{BMC}} = k^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}$.

По условию, площадь треугольника $AMD$ равна $32 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу и найдем площадь треугольника $BMC$: $\frac{32}{S_{BMC}} = \frac{64}{9}$
$S_{BMC} = \frac{32 \cdot 9}{64} = \frac{1 \cdot 9}{2} = 4.5 \text{ см}^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно найти как разность площадей треугольников $AMD$ и $BMC$:
$S_{ABCD} = S_{AMD} - S_{BMC} = 32 - 4.5 = 27.5 \text{ см}^2$.

Ответ: $27.5 \text{ см}^2$.