Номер 917, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

917. На продолжениях медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_2$, $B_2$ и $C_2$ так, что $A_1A_2 = \frac{1}{2}AA_1$, $B_1B_2 = \frac{1}{2}BB_1$, $C_1C_2 = \frac{1}{2}CC_1$ (рис. 290). Найдите площадь треугольника $A_2B_2C_2$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1.

Рис. 290

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$. По условию задачи $S_{ABC} = 1$. Пусть $M$ - точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$.

Известно свойство медиан: центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что отрезки $AM$ и $MA_1$ соотносятся как $2:1$, то есть $AM = \frac{2}{3}AA_1$ и $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$.

Согласно условию, точка $A_2$ лежит на продолжении медианы $AA_1$ за точкой $A_1$, и длина отрезка $A_1A_2$ равна половине длины медианы $AA_1$: $A_1A_2 = \frac{1}{2}AA_1$. Таким образом, точки $A$, $M$, $A_1$, $A_2$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим векторы, с началом в центроиде $M$. Вектор $\vec{MA}$ направлен от точки $M$ к вершине $A$. Вектор $\vec{MA_2}$ направлен от точки $M$ к точке $A_2$. Так как точка $M$ находится между точками $A$ и $A_2$, эти векторы противоположно направлены.

Найдем длины этих векторов. Длина вектора $\vec{MA}$ равна длине отрезка $AM$: $|\vec{MA}| = AM = \frac{2}{3}AA_1$.

Длина вектора $\vec{MA_2}$ равна длине отрезка $MA_2$, который является суммой отрезков $MA_1$ и $A_1A_2$: $|\vec{MA_2}| = MA_2 = MA_1 + A_1A_2 = \frac{1}{3}AA_1 + \frac{1}{2}AA_1 = (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})AA_1 = \frac{5}{6}AA_1$.

Теперь найдем отношение длин этих векторов: $\frac{|\vec{MA_2}|}{|\vec{MA}|} = \frac{\frac{5}{6}AA_1}{\frac{2}{3}AA_1} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Поскольку векторы $\vec{MA_2}$ и $\vec{MA}$ противоположно направлены, их связывает следующее соотношение: $\vec{MA_2} = -\frac{5}{4}\vec{MA}$.

Проведя аналогичные рассуждения для двух других медиан, $BB_1$ и $CC_1$, мы получим: $\vec{MB_2} = -\frac{5}{4}\vec{MB}$
$\vec{MC_2} = -\frac{5}{4}\vec{MC}$

Эти векторные равенства означают, что треугольник $A_2B_2C_2$ является образом треугольника $ABC$ при гомотетии с центром в точке $M$ (центроиде) и коэффициентом $k = -\frac{5}{4}$.

Отношение площадей двух гомотетичных (подобных) фигур равно квадрату коэффициента гомотетии: $\frac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$.

Так как площадь треугольника $ABC$ равна 1, мы можем найти площадь треугольника $A_2B_2C_2$: $S_{A_2B_2C_2} = \frac{25}{16} \cdot S_{ABC} = \frac{25}{16} \cdot 1 = \frac{25}{16}$.

Ответ: $\frac{25}{16}$.