Страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

861. Сторона квадрата равна $2\sqrt{2}$ см. Найдите длину дуги описанной окружности данного квадрата, концами которой являются две его соседние вершины.

Пусть сторона квадрата равна a, а радиус описанной около него окружности — R. По условию задачи, сторона квадрата $a = 2\sqrt{2}$ см.

Центр описанной окружности квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Диагональ квадрата d является диаметром описанной окружности, то есть $d = 2R$.

Найдем диагональ квадрата по формуле $d = a\sqrt{2}$: $d = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Дуга, концы которой являются двумя соседними вершинами квадрата, стягивает сторону квадрата. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен углу между двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам квадрата. Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны, этот угол равен $90^\circ$.

Длина дуги окружности l вычисляется по формуле: $l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера центрального угла, соответствующего дуге.

Подставим в формулу значения $R = 2$ см и $\alpha = 90^\circ$: $l = \frac{\pi \cdot 2 \cdot 90^\circ}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi$ см.

Ответ: $\pi$ см.

862. Расстояние между центрами двух кругов радиуса $R$ равно $R$. Найдите площадь фигуры, являющейся общей частью этих кругов, и длину линии, ограничивающей эту фигуру.

Пусть центры двух кругов радиуса $R$ находятся в точках $O_1$ и $O_2$. По условию, расстояние между центрами $O_1O_2 = R$. Пусть окружности, ограничивающие эти круги, пересекаются в точках $A$ и $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Его стороны равны:

• $O_1A = R$ (радиус первого круга)
• $O_2A = R$ (радиус второго круга)
• $O_1O_2 = R$ (расстояние между центрами)

Следовательно, $\triangle O_1AO_2$ является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан. Аналогично, треугольник $\triangle O_1BO_2$ также является равносторонним.

Центральный угол, соответствующий дуге $AB$ в первом круге, равен $\angle AO_1B = \angle AO_1O_2 + \angle BO_1O_2 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. В радианах этот угол равен $\frac{2\pi}{3}$.

площадь фигуры, являющейся общей частью этих кругов

Общая часть двух кругов представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых круговых сегментов. Площадь одного сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника, которые опираются на общую хорду $AB$.

Площадь сектора $O_1AB$ вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2\alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах. $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi R^2}{3}$.

Площадь треугольника $\triangle O_1AB$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. $S_{\triangle O_1AB} = \frac{1}{2} \cdot O_1A \cdot O_1B \cdot \sin(\angle AO_1B) = \frac{1}{2}R \cdot R \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}R^2$.

Площадь одного сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}R^2$.

Поскольку общая часть состоит из двух таких сегментов (по одному от каждого круга), ее общая площадь $S$ равна: $S = 2 \cdot S_{сегмента} = 2 \left( \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}R^2 \right) = \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}R^2 = R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Ответ: $R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

длину линии, ограничивающей эту фигуру

Линия, ограничивающая общую часть, состоит из двух одинаковых дуг окружностей. Длина одной дуги вычисляется по формуле $L_{дуги} = R\alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах.

Центральный угол, стягивающий каждую дугу, как мы нашли ранее, равен $120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

Длина одной дуги: $L_{дуги} = R \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi R}{3}$.

Поскольку граница состоит из двух таких дуг, общая длина линии $L$ равна: $L = 2 \cdot L_{дуги} = 2 \cdot \frac{2\pi R}{3} = \frac{4\pi R}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi R}{3}$.

863. Площадь кругового сектора равна $2.4\pi \text{ см}^2$. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус круга равен $4 \text{ см}$.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$

где $S_{сектора}$ — площадь сектора, $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги этого сектора.

По условию задачи нам даны:

Площадь сектора $S_{сектора} = 2,4\pi$ см².

Радиус круга $R = 4$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$2,4\pi = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot \alpha}{360}$

$2,4\pi = \frac{\pi \cdot 16 \cdot \alpha}{360}$

Чтобы найти $\alpha$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$2,4 = \frac{16 \cdot \alpha}{360}$

Теперь выразим $\alpha$ из этого уравнения:

$\alpha = \frac{2,4 \cdot 360}{16}$

Выполним вычисления:

$\alpha = \frac{864}{16}$

$\alpha = 54$

Следовательно, градусная мера дуги сектора равна 54°.

Ответ: 54°.

864. Диаметр колеса вагона метрополитена равен 78 см. За 2,5 мин колесо делает 1000 оборотов. Найдите скорость вагона метрополитена в километрах в час. Ответ округлите до десятых.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти длину окружности колеса, вычислить общее расстояние, пройденное вагоном, и, наконец, рассчитать скорость, переведя единицы измерения в километры и часы.

1. Находим длину окружности колеса.

Длина окружности $C$ — это расстояние, которое колесо проходит за один полный оборот. Она вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса.

Диаметр колеса дан в сантиметрах, переведем его в метры для удобства дальнейших вычислений: $d = 78$ см $= 0.78$ м.

Теперь вычислим длину окружности: $C = \pi \times 0.78$ м.

2. Находим общее расстояние.

За 2,5 минуты колесо совершает 1000 оборотов. Чтобы найти общее расстояние $S$, умножим длину окружности на количество оборотов:

$S = 1000 \times C = 1000 \times 0.78\pi = 780\pi$ м.

3. Находим скорость.

Скорость $v$ равна отношению расстояния ко времени ($v = \frac{S}{t}$). Нам нужно выразить скорость в километрах в час, поэтому переведем расстояние в километры, а время в часы.

Расстояние в километрах (1 км = 1000 м):

$S = 780\pi \text{ м} = \frac{780\pi}{1000} \text{ км} = 0.78\pi$ км.

Время в часах (1 час = 60 минут):

$t = 2.5 \text{ мин} = \frac{2.5}{60}$ ч.

Теперь вычисляем скорость в км/ч:

$v = \frac{S}{t} = \frac{0.78\pi \text{ км}}{\frac{2.5}{60} \text{ ч}} = \frac{0.78\pi \times 60}{2.5}$ км/ч.

Выполним расчеты:

$v = \frac{46.8\pi}{2.5} = 18.72\pi$ км/ч.

4. Вычисляем и округляем результат.

Подставим приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$:

$v \approx 18.72 \times 3.14159 \approx 58.8078$ км/ч.

Согласно условию, ответ нужно округлить до десятых. Вторая цифра после запятой — 0, но если взять более точное значение, то $58.8078...$, третья цифра 7, значит округляем до $58.8$.

Ответ: 58,8.

865. Найдите длину окружности, вписанной в сегмент, длина дуги которого равна $m$, а градусная мера равна $120^\circ$.

Пусть $R$ — радиус окружности, из которой взят сегмент, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот сегмент. Длина дуги сегмента равна $m$, а её градусная мера составляет $\alpha = 120^\circ$.

Сначала найдем радиус $R$ исходной окружности. Длина дуги окружности вычисляется по формуле $l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$. Подставим известные данные: $m = \frac{\pi R \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{2\pi R}{3}$.

Из этого соотношения выразим радиус $R$: $R = \frac{3m}{2\pi}$.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной окружности. Для этого определим высоту сегмента $h$. Пусть $O$ — центр исходной окружности, $AB$ — хорда, ограничивающая сегмент, а $M$ — середина дуги сегмента. Высота сегмента $h$ — это отрезок $DM$, где $D$ — середина хорды $AB$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA=OB=R$), а центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$.

$OD$ является высотой и биссектрисой в треугольнике $AOB$, поэтому $\angle AOD = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $AOD$ находим: $OD = OA \cdot \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Высота сегмента $h$ равна: $h = DM = OM - OD = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Окружность, вписанная в сегмент, по соображениям симметрии касается хорды $AB$ в точке $D$ и дуги в точке $M$. Следовательно, высота сегмента $DM$ является диаметром вписанной окружности: $2r = h = \frac{R}{2}$, откуда $r = \frac{R}{4}$.

Искомая длина вписанной окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставим в нее найденные соотношения: $C = 2\pi \cdot \frac{R}{4} = \frac{\pi R}{2}$.

Наконец, подставим выражение для $R$: $C = \frac{\pi}{2} \cdot \left(\frac{3m}{2\pi}\right) = \frac{3m}{4}$.

Ответ: $\frac{3m}{4}$.

866. К окружности, радиус которой равен $R$, проведены две касательные, угол между которыми равен $60^\circ$. Найдите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей из дуг, концами которых являются точки касания.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Пусть касательные, проведённые из точки $A$, касаются окружности в точках $B$ и $C$. Фигура, площадь которой требуется найти, ограничена отрезками касательных $AB$, $AC$ и меньшей дугой $BC$.

Искомая площадь представляет собой разность площади четырёхугольника $ABOC$ и площади кругового сектора $BOC$, ограниченного радиусами $OB$, $OC$ и дугой $BC$.

$S_{фигуры} = S_{ABOC} - S_{сектора BOC}$

1. Сначала найдём площадь четырёхугольника $ABOC$.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$, а значит, $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$.
Сумма углов в четырёхугольнике $ABOC$ равна $360^\circ$. Угол между касательными по условию равен $\angle BAC = 60^\circ$. Тогда центральный угол $\angle BOC$ можно найти так:

$\angle BOC = 360^\circ - \angle OBA - \angle OCA - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Четырёхугольник $ABOC$ состоит из двух равных прямоугольных треугольников $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$. Рассмотрим $\triangle OBA$. Отрезок $OA$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle OBA$ катет $OB$ равен радиусу $R$. Найдём длину второго катета $AB$:

$\text{tg}(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} \implies AB = \frac{OB}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{R}{1/\sqrt{3}} = R\sqrt{3}$.

Площадь треугольника $\triangle OBA$:

$S_{\triangle OBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot R = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$.

Площадь всего четырёхугольника $ABOC$ в два раза больше:

$S_{ABOC} = 2 \cdot S_{\triangle OBA} = 2 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{2} = R^2\sqrt{3}$.

2. Теперь найдём площадь кругового сектора $BOC$.
Центральный угол сектора, как мы нашли ранее, $\angle BOC = 120^\circ$. Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S_{сектора BOC} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \angle BOC = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{\pi R^2}{3}$.

3. Наконец, вычислим площадь искомой фигуры:

$S_{фигуры} = S_{ABOC} - S_{сектора BOC} = R^2\sqrt{3} - \frac{\pi R^2}{3} = R^2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $R^2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3})$.

867. Вершинами треугольника являются точки $A (-4; 1)$, $B (-2; 4)$ и $C (0; 1)$.

Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный, и найдите его площадь.

Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо вычислить длины его сторон и показать, что две из них равны. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Найдем длину стороны $AB$ для точек $A(-4; 1)$ и $B(-2; 4)$:
$|AB| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Найдем длину стороны $BC$ для точек $B(-2; 4)$ и $C(0; 1)$:
$|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Найдем длину стороны $AC$ для точек $A(-4; 1)$ и $C(0; 1)$:
$|AC| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Сравнив длины сторон, видим, что $|AB| = |BC| = \sqrt{13}$. Так как две стороны треугольника равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

найдите его площадь

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основанием является сторона $AC$, ее длина равна 4. Заметим, что у точек $A(-4; 1)$ и $C(0; 1)$ ординаты (координаты y) равны, следовательно, основание $AC$ лежит на горизонтальной прямой $y=1$.

Высота $h$, проведенная из вершины $B(-2; 4)$ к основанию $AC$, будет равна модулю разности ординат точки $B$ и прямой, на которой лежит основание $AC$:
$h = |y_B - y_{AC}| = |4 - 1| = 3$.

Теперь вычислим площадь треугольника:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: треугольник является равнобедренным, его площадь равна 6.

868. Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка $AB$ с осью абсцисс, если $A (5; -3)$, $B (4; 6)$.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Искомая точка лежит на оси абсцисс, поэтому её ордината равна 0. Обозначим эту точку как $P(x; 0)$.

Так как точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, расстояние от $P$ до $A$ равно расстоянию от $P$ до $B$, то есть $PA = PB$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $PA^2 = PB^2$.

Координаты данных точек: $A(5; -3)$ и $B(4; 6)$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

Вычислим квадрат расстояния $PA^2$:

$PA^2 = (x - 5)^2 + (0 - (-3))^2 = (x - 5)^2 + 3^2 = (x - 5)^2 + 9$.

Вычислим квадрат расстояния $PB^2$:

$PB^2 = (x - 4)^2 + (0 - 6)^2 = (x - 4)^2 + (-6)^2 = (x - 4)^2 + 36$.

Теперь приравняем выражения для $PA^2$ и $PB^2$:

$(x - 5)^2 + 9 = (x - 4)^2 + 36$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 10x + 25) + 9 = (x^2 - 8x + 16) + 36$.

Упростим обе части уравнения:

$x^2 - 10x + 34 = x^2 - 8x + 52$.

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-10x + 34 = -8x + 52$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$34 - 52 = -8x + 10x$.

$-18 = 2x$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{-18}{2} = -9$.

Таким образом, абсцисса искомой точки равна -9, а ордината равна 0. Координаты точки пересечения серединного перпендикуляра с осью абсцисс — $(-9; 0)$.

Ответ: $(-9; 0)$.

869. Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка $CD$ с осью ординат, если $C (2; 1)$, $D (4; -3)$.

Для нахождения координат точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка CD с осью ординат (осью Oy) необходимо выполнить несколько шагов. Ось ординат — это прямая, все точки которой имеют абсциссу (координату x), равную нулю. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через нахождение уравнения серединного перпендикуляра

1. Найдем координаты точки M — середины отрезка CD. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $C(2; 1)$ и $D(4; -3)$ имеем:
$x_M = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_M = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, M(3; -1) — середина отрезка CD.

2. Найдем угловой коэффициент $k_{CD}$ прямой, проходящей через точки C и D.
$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-3 - 1}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2$.

3. Найдем угловой коэффициент $k_{\perp}$ серединного перпендикуляра. Серединный перпендикуляр перпендикулярен прямой CD, поэтому произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_{\perp} \cdot k_{CD} = -1$.
$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

4. Составим уравнение серединного перпендикуляра. Он проходит через точку M(3; -1) и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{1}{2}$. Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
$y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 3)$
$y + 1 = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} - 1$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

5. Найдем точку пересечения перпендикуляра с осью ординат. Для этого подставим $x = 0$ в полученное уравнение прямой:
$y = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{5}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$
Координаты точки пересечения (0; -2.5).

Способ 2: Через свойство равноудаленности точек

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов. Искомая точка P лежит на оси ординат, поэтому ее координаты имеют вид P(0; y). Расстояние от P до C равно расстоянию от P до D, т.е. $PC = PD$. Это эквивалентно равенству квадратов расстояний: $PC^2 = PD^2$.
Используем формулу квадрата расстояния между точками $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:
$PC^2 = (2 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 4 + 1 - 2y + y^2 = 5 - 2y + y^2$
$PD^2 = (4 - 0)^2 + (-3 - y)^2 = 16 + (3+y)^2 = 16 + 9 + 6y + y^2 = 25 + 6y + y^2$
Приравниваем полученные выражения:
$5 - 2y + y^2 = 25 + 6y + y^2$
Сокращаем $y^2$ в обеих частях:
$5 - 2y = 25 + 6y$
$5 - 25 = 6y + 2y$
$-20 = 8y$
$y = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$
Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; -2.5).

Ответ: (0; -2.5).

870. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-12; 6)$, $B (0; 11)$, $C (5; -1)$, $D (-7; -6)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $ABCD$ является квадратом, необходимо проверить, что все его стороны равны между собой и его диагонали также равны между собой.

Даны координаты вершин: $A(-12; 6)$, $B(0; 11)$, $C(5; -1)$, $D(-7; -6)$.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника.

Длина стороны $AB = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (11 - 6)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Длина стороны $BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (-1 - 11)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Длина стороны $CD = \sqrt{(-7 - 5)^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Длина стороны $DA = \sqrt{(-12 - (-7))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Так как $AB = BC = CD = DA = 13$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что $ABCD$ — ромб.

2. Вычислим длины диагоналей четырёхугольника.

Длина диагонали $AC = \sqrt{(5 - (-12))^2 + (-1 - 6)^2} = \sqrt{17^2 + (-7)^2} = \sqrt{289 + 49} = \sqrt{338}$.

Длина диагонали $BD = \sqrt{(-7 - 0)^2 + (-6 - 11)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-17)^2} = \sqrt{49 + 289} = \sqrt{338}$.

Так как $AC = BD$, диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку $ABCD$ является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то по свойству квадрата он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является квадратом, так как все его стороны равны 13, а его диагонали равны $\sqrt{338}$.

871. Точка $M (5; -2)$ является одним из концов диаметра окружности, точка $N (2; 0)$ – центр окружности. Найдите координаты второго конца диаметра.

Пусть второй конец диаметра — точка K с координатами $(x; y)$.

Центр окружности N(2; 0) является серединой диаметра, концами которого являются точки M(5; -2) и K(x; y).

Координаты середины отрезка (в данном случае, центра окружности) находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Запишем формулы для координат центра N:

$x_N = \frac{x_M + x_K}{2}$

$y_N = \frac{y_M + y_K}{2}$

Подставим известные значения и найдем неизвестные координаты $x$ и $y$ точки K.

Для координаты x:

$2 = \frac{5 + x}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$4 = 5 + x$

Отсюда находим $x$:

$x = 4 - 5 = -1$

Для координаты y:

$0 = \frac{-2 + y}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$0 = -2 + y$

Отсюда находим $y$:

$y = 2$

Таким образом, координаты второго конца диаметра: (-1; 2).

Ответ: (-1; 2)

872. Установите, лежат ли точки $A (-4; -3)$, $B (26; 7)$, $C (2; -1)$ на одной прямой. В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими.

Для того чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно вычислить расстояния между ними. Если точки лежат на одной прямой, то длина наибольшего отрезка будет равна сумме длин двух других. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Найдем длины отрезков $AB$, $AC$ и $BC$ для точек $A(-4; -3)$, $B(26; 7)$ и $C(2; -1)$.

1. Длина отрезка $AB$:

$|AB| = \sqrt{(26 - (-4))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(30)^2 + (10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = \sqrt{100 \cdot 10} = 10\sqrt{10}$

2. Длина отрезка $AC$:

$|AC| = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

3. Длина отрезка $BC$:

$|BC| = \sqrt{(26 - 2)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{(24)^2 + (8)^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$

Теперь проверим, выполняется ли равенство $|AC| + |BC| = |AB|$:

$2\sqrt{10} + 8\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$

Так как $10\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$, равенство выполняется. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Из этого же равенства следует, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.

Ответ: Да, точки лежат на одной прямой. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.

873. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки $A (5; 1)$, $B (9; -2)$, $C (7; 2)$, – прямоугольный, и составьте уравнение окружности, описанной около него.

Доказательство того, что треугольник является прямоугольным

Чтобы доказать, что треугольник с вершинами в точках $A(5; 1)$, $B(9; -2)$, $C(7; 2)$ является прямоугольным, мы можем использовать теорему, обратную теореме Пифагора. Для этого необходимо найти квадраты длин всех его сторон и проверить, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других.

Квадрат расстояния $d^2$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Вычислим квадрат длины стороны $AC$:
$AC^2 = (7 - 5)^2 + (2 - 1)^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

2. Вычислим квадрат длины стороны $BC$:
$BC^2 = (7 - 9)^2 + (2 - (-2))^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

3. Вычислим квадрат длины стороны $AB$:
$AB^2 = (9 - 5)^2 + (-2 - 1)^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.

Теперь проверим выполнение теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$5 + 20 = 25$
$25 = 25$
Поскольку равенство выполняется, треугольник $ABC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $C$ (так как он лежит напротив самой длинной стороны $AB$, которая является гипотенузой).

Ответ: Треугольник с данными вершинами является прямоугольным.

Составление уравнения описанной окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

1. Найдем координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$, который является серединой гипотенузы $AB$. Используем формулы координат середины отрезка: $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$.
Подставим координаты точек $A(5; 1)$ и $B(9; -2)$:
$x_0 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$y_0 = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$
Таким образом, центр окружности находится в точке $O(7; -0.5)$.

2. Найдем радиус $R$ окружности. Длина гипотенузы $AB = \sqrt{AB^2} = \sqrt{25} = 5$.
Радиус равен половине гипотенузы: $R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

3. Составим уравнение окружности. Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Подставим найденные значения координат центра и радиуса:
$(x - 7)^2 + (y - (-0.5))^2 = 2.5^2$
$(x - 7)^2 + (y + 0.5)^2 = 6.25$

Ответ: $(x - 7)^2 + (y + 0.5)^2 = 6.25$.

874. Установите, является ли отрезок $CD$ диаметром окружности $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$, если $C(-8; 7)$, $D(4; -1)$.

Для того чтобы отрезок CD являлся диаметром окружности, необходимо и достаточно, чтобы его концы (точки C и D) лежали на этой окружности, а его середина совпадала с центром окружности.

1. Найдем центр и радиус окружности.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В нашем случае уравнение окружности: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$.

Отсюда следует, что центр окружности, точка O, имеет координаты $O(-2; 3)$, а квадрат радиуса $R^2 = 52$.

2. Проверим, лежат ли точки C и D на окружности.

Подставим координаты точки $C(-8; 7)$ в уравнение окружности:

$(-8 + 2)^2 + (7 - 3)^2 = (-6)^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.

Равенство $52 = 52$ верно, значит, точка C лежит на окружности.

Теперь подставим координаты точки $D(4; -1)$ в уравнение окружности:

$(4 + 2)^2 + (-1 - 3)^2 = 6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52$.

Равенство $52 = 52$ верно, значит, точка D также лежит на окружности.

3. Найдем координаты середины отрезка CD.

Пусть точка M — середина отрезка CD. Ее координаты вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$, $y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$

Подставим координаты точек C и D:

$x_M = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_M = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина отрезка CD — это точка $M(-2; 3)$.

4. Сделаем вывод.

Координаты середины отрезка CD, $M(-2; 3)$, совпадают с координатами центра окружности, $O(-2; 3)$.

Поскольку оба условия выполнены (точки C и D лежат на окружности, и их середина является центром окружности), отрезок CD является диаметром данной окружности.

Ответ: да, является.