Номер 874, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

874. Установите, является ли отрезок $CD$ диаметром окружности $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$, если $C(-8; 7)$, $D(4; -1)$.

Для того чтобы отрезок CD являлся диаметром окружности, необходимо и достаточно, чтобы его концы (точки C и D) лежали на этой окружности, а его середина совпадала с центром окружности.

1. Найдем центр и радиус окружности.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В нашем случае уравнение окружности: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 52$.

Отсюда следует, что центр окружности, точка O, имеет координаты $O(-2; 3)$, а квадрат радиуса $R^2 = 52$.

2. Проверим, лежат ли точки C и D на окружности.

Подставим координаты точки $C(-8; 7)$ в уравнение окружности:

$(-8 + 2)^2 + (7 - 3)^2 = (-6)^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$.

Равенство $52 = 52$ верно, значит, точка C лежит на окружности.

Теперь подставим координаты точки $D(4; -1)$ в уравнение окружности:

$(4 + 2)^2 + (-1 - 3)^2 = 6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52$.

Равенство $52 = 52$ верно, значит, точка D также лежит на окружности.

3. Найдем координаты середины отрезка CD.

Пусть точка M — середина отрезка CD. Ее координаты вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$, $y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$

Подставим координаты точек C и D:

$x_M = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_M = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина отрезка CD — это точка $M(-2; 3)$.

4. Сделаем вывод.

Координаты середины отрезка CD, $M(-2; 3)$, совпадают с координатами центра окружности, $O(-2; 3)$.

Поскольку оба условия выполнены (точки C и D лежат на окружности, и их середина является центром окружности), отрезок CD является диаметром данной окружности.

Ответ: да, является.