Номер 869, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

869. Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка $CD$ с осью ординат, если $C (2; 1)$, $D (4; -3)$.

Для нахождения координат точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка CD с осью ординат (осью Oy) необходимо выполнить несколько шагов. Ось ординат — это прямая, все точки которой имеют абсциссу (координату x), равную нулю. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через нахождение уравнения серединного перпендикуляра

1. Найдем координаты точки M — середины отрезка CD. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $C(2; 1)$ и $D(4; -3)$ имеем:
$x_M = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_M = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, M(3; -1) — середина отрезка CD.

2. Найдем угловой коэффициент $k_{CD}$ прямой, проходящей через точки C и D.
$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-3 - 1}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2$.

3. Найдем угловой коэффициент $k_{\perp}$ серединного перпендикуляра. Серединный перпендикуляр перпендикулярен прямой CD, поэтому произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_{\perp} \cdot k_{CD} = -1$.
$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

4. Составим уравнение серединного перпендикуляра. Он проходит через точку M(3; -1) и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{1}{2}$. Используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
$y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 3)$
$y + 1 = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} - 1$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$

5. Найдем точку пересечения перпендикуляра с осью ординат. Для этого подставим $x = 0$ в полученное уравнение прямой:
$y = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{5}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$
Координаты точки пересечения (0; -2.5).

Способ 2: Через свойство равноудаленности точек

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов. Искомая точка P лежит на оси ординат, поэтому ее координаты имеют вид P(0; y). Расстояние от P до C равно расстоянию от P до D, т.е. $PC = PD$. Это эквивалентно равенству квадратов расстояний: $PC^2 = PD^2$.
Используем формулу квадрата расстояния между точками $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:
$PC^2 = (2 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 4 + 1 - 2y + y^2 = 5 - 2y + y^2$
$PD^2 = (4 - 0)^2 + (-3 - y)^2 = 16 + (3+y)^2 = 16 + 9 + 6y + y^2 = 25 + 6y + y^2$
Приравниваем полученные выражения:
$5 - 2y + y^2 = 25 + 6y + y^2$
Сокращаем $y^2$ в обеих частях:
$5 - 2y = 25 + 6y$
$5 - 25 = 6y + 2y$
$-20 = 8y$
$y = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$
Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; -2.5).

Ответ: (0; -2.5).