Номер 872, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

872. Установите, лежат ли точки $A (-4; -3)$, $B (26; 7)$, $C (2; -1)$ на одной прямой. В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими.

Для того чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно вычислить расстояния между ними. Если точки лежат на одной прямой, то длина наибольшего отрезка будет равна сумме длин двух других. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Найдем длины отрезков $AB$, $AC$ и $BC$ для точек $A(-4; -3)$, $B(26; 7)$ и $C(2; -1)$.

1. Длина отрезка $AB$:

$|AB| = \sqrt{(26 - (-4))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(30)^2 + (10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = \sqrt{100 \cdot 10} = 10\sqrt{10}$

2. Длина отрезка $AC$:

$|AC| = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(6)^2 + (2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$

3. Длина отрезка $BC$:

$|BC| = \sqrt{(26 - 2)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{(24)^2 + (8)^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10}$

Теперь проверим, выполняется ли равенство $|AC| + |BC| = |AB|$:

$2\sqrt{10} + 8\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$

Так как $10\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$, равенство выполняется. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Из этого же равенства следует, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.

Ответ: Да, точки лежат на одной прямой. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.