Номер 862, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

862. Расстояние между центрами двух кругов радиуса $R$ равно $R$. Найдите площадь фигуры, являющейся общей частью этих кругов, и длину линии, ограничивающей эту фигуру.

Пусть центры двух кругов радиуса $R$ находятся в точках $O_1$ и $O_2$. По условию, расстояние между центрами $O_1O_2 = R$. Пусть окружности, ограничивающие эти круги, пересекаются в точках $A$ и $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Его стороны равны:

• $O_1A = R$ (радиус первого круга)
• $O_2A = R$ (радиус второго круга)
• $O_1O_2 = R$ (расстояние между центрами)

Следовательно, $\triangle O_1AO_2$ является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан. Аналогично, треугольник $\triangle O_1BO_2$ также является равносторонним.

Центральный угол, соответствующий дуге $AB$ в первом круге, равен $\angle AO_1B = \angle AO_1O_2 + \angle BO_1O_2 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. В радианах этот угол равен $\frac{2\pi}{3}$.

площадь фигуры, являющейся общей частью этих кругов

Общая часть двух кругов представляет собой фигуру, состоящую из двух одинаковых круговых сегментов. Площадь одного сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника, которые опираются на общую хорду $AB$.

Площадь сектора $O_1AB$ вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2\alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах. $S_{сектора} = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi R^2}{3}$.

Площадь треугольника $\triangle O_1AB$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. $S_{\triangle O_1AB} = \frac{1}{2} \cdot O_1A \cdot O_1B \cdot \sin(\angle AO_1B) = \frac{1}{2}R \cdot R \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}R^2$.

Площадь одного сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}R^2$.

Поскольку общая часть состоит из двух таких сегментов (по одному от каждого круга), ее общая площадь $S$ равна: $S = 2 \cdot S_{сегмента} = 2 \left( \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}R^2 \right) = \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}R^2 = R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Ответ: $R^2 \left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

длину линии, ограничивающей эту фигуру

Линия, ограничивающая общую часть, состоит из двух одинаковых дуг окружностей. Длина одной дуги вычисляется по формуле $L_{дуги} = R\alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах.

Центральный угол, стягивающий каждую дугу, как мы нашли ранее, равен $120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

Длина одной дуги: $L_{дуги} = R \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi R}{3}$.

Поскольку граница состоит из двух таких дуг, общая длина линии $L$ равна: $L = 2 \cdot L_{дуги} = 2 \cdot \frac{2\pi R}{3} = \frac{4\pi R}{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi R}{3}$.