Номер 856, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

856. В окружность вписан квадрат со стороной 4 см. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти радиус окружности, используя данные о вписанном квадрате, а затем использовать этот радиус для нахождения площади вписанного правильного треугольника.

Пусть $a_{кв}$ — сторона вписанного квадрата, а $R$ — радиус окружности. По условию $a_{кв} = 4$ см.

Диагональ вписанного квадрата $d$ является диаметром $D$ описанной окружности. Найдем диагональ квадрата по формуле, связывающей ее со стороной: $d = a_{кв}\sqrt{2}$.

$d = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, диаметр окружности $D = 4\sqrt{2}$ см. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус окружности, найдем сторону правильного треугольника $a_{тр}$, вписанного в эту же окружность. Сторона правильного вписанного треугольника связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой: $a_{тр} = R\sqrt{3}$.

Подставим найденное значение радиуса:

$a_{тр} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Площадь правильного треугольника $S$ со стороной $a_{тр}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a_{тр}^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны треугольника и вычислим площадь:

$S = \frac{(2\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 6) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{24\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $6\sqrt{3}$ см².