Номер 857, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

857. Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и правильный шестиугольник.

Сначала выразим площадь правильного треугольника ($S_3$) через радиус $R$. Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность, связана с радиусом соотношением $a_3 = R\sqrt{3}$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив выражение для стороны $a_3$, получим площадь вписанного треугольника:

$S_3 = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь выразим площадь правильного шестиугольника ($S_6$) через радиус $R$. Сторона правильного шестиугольника ($a_6$), вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $R$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$. Тогда площадь всего шестиугольника:

$S_6 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, найдем искомое отношение площадей треугольника и шестиугольника:

$\frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}$

После сокращения общего множителя $3R^2\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_3}{S_6} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, отношение площади правильного треугольника к площади правильного шестиугольника равно 1:2.

Ответ: 1:2.