Номер 852, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

852. Вычислите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 15 см, а диагонали – 11 см и 25 см.

Для вычисления площади параллелограмма, зная одну его сторону и обе диагонали, можно использовать свойство диагоналей и формулу Герона.

Решение:

Пусть у нас есть параллелограмм со стороной $a = 15$ см и диагоналями $d_1 = 11$ см и $d_2 = 25$ см.

Ключевое свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Эти диагонали разделяют параллелограмм на четыре треугольника с равной площадью.

Рассмотрим один из треугольников, сторонами которого являются сторона параллелограмма $a$ и половины его диагоналей. Обозначим стороны этого треугольника как $s_1, s_2, s_3$:

• $s_1 = a = 15$ см
• $s_2 = \frac{d_1}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ см
• $s_3 = \frac{d_2}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см

Площадь этого треугольника ($S_{\text{тр}}$) можно найти по формуле Герона:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{2} = \frac{15 + 5.5 + 12.5}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$ см.

2. Теперь подставим значения в формулу Герона для вычисления площади треугольника:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{16.5 \cdot (16.5 - 15) \cdot (16.5 - 5.5) \cdot (16.5 - 12.5)}$

$S_{\text{тр}} = \sqrt{16.5 \cdot 1.5 \cdot 11 \cdot 4}$

Для упрощения вычислений, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{\frac{33}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 11 \cdot 4} = \sqrt{\frac{33 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 4}{4}} = \sqrt{33 \cdot 3 \cdot 11}$

$S_{\text{тр}} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot 3 \cdot 11} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 11)^2} = 3 \cdot 11 = 33$ см$^2$.

3. Площадь всего параллелограмма ($S$) в четыре раза больше площади этого треугольника:

$S = 4 \cdot S_{\text{тр}} = 4 \cdot 33 = 132$ см$^2$.

Ответ: $132$ см$^2$.