Номер 851, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

851. Радиусы двух окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между их центрами – 44 см. Найдите длину общей хорды данных окружностей.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. По условию, $r_1 = 17$ см, $r_2 = 39$ см, а расстояние между центрами $O_1O_2 = 44$ см.

Окружности пересекаются в двух точках, пусть это будут точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является их общей хордой. Линия, соединяющая центры $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит её пополам в точке пересечения $H$. Таким образом, $AH = HB$ и $\angle O_1HA = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$, его стороны равны $O_1A = r_1 = 17$ см, $O_2A = r_2 = 39$ см и $O_1O_2 = 44$ см. Отрезок $AH$ является высотой этого треугольника, проведённой к стороне $O_1O_2$. Длина хорды $AB$ равна $2 \cdot AH$.

Введём обозначения: пусть $h = AH$ и $x = O_1H$. Тогда $O_2H = O_1O_2 - O_1H = 44 - x$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle O_1HA$ и $\triangle O_2HA$.

По теореме Пифагора для $\triangle O_1HA$:
$O_1A^2 = AH^2 + O_1H^2$
$17^2 = h^2 + x^2$
Отсюда $h^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$.

По теореме Пифагора для $\triangle O_2HA$:
$O_2A^2 = AH^2 + O_2H^2$
$39^2 = h^2 + (44 - x)^2$
Отсюда $h^2 = 39^2 - (44 - x)^2 = 1521 - (1936 - 88x + x^2) = 1521 - 1936 + 88x - x^2 = -415 + 88x - x^2$.

Теперь приравняем два выражения для $h^2$:
$289 - x^2 = -415 + 88x - x^2$
$289 = -415 + 88x$
$88x = 289 + 415$
$88x = 704$
$x = \frac{704}{88} = 8$ см.

Мы нашли расстояние $O_1H = 8$ см. Теперь найдём $h$ (половину длины хорды), подставив значение $x$ в одно из уравнений для $h^2$:
$h^2 = 289 - x^2 = 289 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Длина общей хорды $AB$ равна $2h$:
$AB = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.