Номер 849, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

849. Биссектриса угла $\angle BAD$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите площадь треугольника $ABM$, если $AB = 4$ см, $\angle BAD = 60^\circ$.

Поскольку $AM$ является биссектрисой угла $BAD$ параллелограмма $ABCD$, она делит этот угол пополам. Так как по условию $\angle BAD = 60^\circ$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AM$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle AMB$ и $\angle MAD$ равны, то есть $\angle AMB = \angle MAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем два угла равны: $\angle BAM = 30^\circ$ и $\angle AMB = 30^\circ$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $BM = AB$. По условию $AB = 4$ см, следовательно, $BM = 4$ см.

Для вычисления площади треугольника $ABM$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Нам нужны стороны $AB$ и $BM$, которые мы уже знаем, и угол $\angle ABM$ между ними.

Угол $\angle ABM$ совпадает с углом $\angle ABC$ параллелограмма. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Отсюда $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABM$:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin(\angle ABM) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(120^\circ)$.

Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см$^2$.