Номер 884, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

884. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{BA} + \vec{CD} - \vec{CB}$;

2) $\vec{AB} - \vec{DA} - \vec{BD} + \vec{CD}$;

3) $\vec{AD} - \vec{BA} - \vec{AC}$.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, для векторов, образованных его сторонами и диагоналями, выполняются следующие свойства:

• Векторы противоположных сторон равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ (и, следовательно, $\vec{BA} = \vec{CD}$) и $\vec{AD} = \vec{BC}$ (и, следовательно, $\vec{DA} = \vec{CB}$).
• Правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.
• Правило вычитания векторов с общим началом: $\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$.

Используя эти свойства, решим каждую задачу.

Необходимо найти $\vec{BA} + \vec{CD} - \vec{CB}$.

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то векторы его противоположных сторон $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$ равны: $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Подставим это равенство в исходное выражение:

$\vec{BA} + \vec{CD} - \vec{CB} = \vec{BA} + \vec{BA} - \vec{CB} = 2\vec{BA} - \vec{CB}$.

Это выражение является окончательным, так как в общем виде для параллелограмма его нельзя упростить до одного вектора.

Ответ: $2\vec{BA} - \vec{CB}$.

Необходимо найти $\vec{AB} - \vec{DA} - \vec{BD} + \vec{CD}$.

Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами. Напомним, что $-\vec{DA} = \vec{AD}$ и $-\vec{BD} = \vec{DB}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{DB} + \vec{CD}$.

Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим правило треугольника для сложения векторов:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$\vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{DB}) + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{AB} + \vec{CD}$.

Из свойств параллелограмма мы знаем, что $\vec{CD} = \vec{BA}$, а $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Следовательно:

$2\vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{AB}$.

Ответ: $\vec{AB}$.

Необходимо найти $\vec{AD} - \vec{BA} - \vec{AC}$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

$(\vec{AD} - \vec{AC}) - \vec{BA}$.

Воспользуемся правилом вычитания векторов, исходящих из одной точки $A$: $\vec{AD} - \vec{AC} = \vec{CD}$.

Тогда выражение упрощается до:

$\vec{CD} - \vec{BA}$.

Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, векторы $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$ равны: $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Таким образом, их разность равна нулевому вектору:

$\vec{BA} - \vec{BA} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.