Номер 887, страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

887. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $BM = \frac{1}{4}BC$, $CK = \frac{2}{3}CD$ (рис. 288). Выразите:

1) векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$;

2) векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ через векторы $\vec{AM} = \vec{m}$ и $\vec{AK} = \vec{n}$.

1) Для того чтобы выразить векторы $\overline{AM}$ и $\overline{AK}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом сложения векторов.

Выразим вектор $\overline{AM}$. По правилу треугольника для векторов имеем: $\overline{AM} = \overline{AB} + \overline{BM}$.

По условию, $\overline{AB} = \vec{a}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление, равны: $\overline{BC} = \overline{AD} = \vec{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, и по условию $BM = \frac{1}{4}BC$. Векторы $\overline{BM}$ и $\overline{BC}$ сонаправлены, поэтому $\overline{BM} = \frac{1}{4}\overline{BC} = \frac{1}{4}\vec{b}$.

Подставим найденные выражения в формулу для $\overline{AM}$:
$\overline{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$.

Теперь выразим вектор $\overline{AK}$. По правилу треугольника: $\overline{AK} = \overline{AD} + \overline{DK}$.

По условию, $\overline{AD} = \vec{b}$. В параллелограмме $ABCD$ также имеем $\overline{DC} = \overline{AB} = \vec{a}$.

Точка $K$ лежит на стороне $CD$, и по условию $CK = \frac{2}{3}CD$. Длина отрезка $DK$ равна $CD - CK = CD - \frac{2}{3}CD = \frac{1}{3}CD$. Векторы $\overline{DK}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены, поэтому $\overline{DK} = \frac{1}{3}\overline{DC} = \frac{1}{3}\vec{a}$.

Подставим найденные выражения в формулу для $\overline{AK}$:
$\overline{AK} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$ или $\overline{AK} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\overline{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$; $\overline{AK} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

2) Для того чтобы выразить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, воспользуемся результатами из пункта 1. Мы получили систему из двух векторных уравнений:

$\begin{cases} \vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} \\ \vec{n} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b} \end{cases}$

Решим эту систему относительно $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Из второго уравнения выразим вектор $\vec{b}$:

$\vec{b} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{a}$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4}(\vec{n} - \frac{1}{3}\vec{a})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы выразить $\vec{a}$:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{n} - \frac{1}{12}\vec{a}$

$\vec{m} = (1 - \frac{1}{12})\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{n}$

$\vec{m} = \frac{11}{12}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{n}$

$\frac{11}{12}\vec{a} = \vec{m} - \frac{1}{4}\vec{n}$

$\vec{a} = \frac{12}{11}(\vec{m} - \frac{1}{4}\vec{n})$

$\vec{a} = \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{12}{11} \cdot \frac{1}{4}\vec{n}$

$\vec{a} = \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{3}{11}\vec{n}$

Теперь, когда мы нашли выражение для $\vec{a}$, подставим его в формулу для $\vec{b}$:

$\vec{b} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{a} = \vec{n} - \frac{1}{3}(\frac{12}{11}\vec{m} - \frac{3}{11}\vec{n})$

$\vec{b} = \vec{n} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11}\vec{n})$

$\vec{b} = \vec{n} - (\frac{4}{11}\vec{m} - \frac{1}{11}\vec{n})$

$\vec{b} = \vec{n} - \frac{4}{11}\vec{m} + \frac{1}{11}\vec{n}$

$\vec{b} = -\frac{4}{11}\vec{m} + (1 + \frac{1}{11})\vec{n}$

$\vec{b} = -\frac{4}{11}\vec{m} + \frac{12}{11}\vec{n}$

Ответ: $\vec{a} = \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{3}{11}\vec{n}$; $\vec{b} = -\frac{4}{11}\vec{m} + \frac{12}{11}\vec{n}$.