Номер 833, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

833. В параллелограмме $ABCD$ $AB = 2$ см, $AD = 4$ см, $\angle BAD = 60^\circ$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть стороны параллелограмма заданы векторами $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Из условия задачи нам известны длины этих векторов (модули) и угол между ними:

$|\vec{a}| = AB = 2$ см

$|\vec{b}| = AD = 4$ см

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\angle BAD = 60^{\circ}$.

Диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Косинус угла $\phi$ между прямыми, содержащими диагонали, можно найти по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$

Найдем скалярное произведение векторов диагоналей:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$

Подставим известные значения:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

Теперь найдем длины (модули) векторов диагоналей. Для этого нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(60^{\circ}) = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Найдем квадрат длины диагонали $AC$:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$|\vec{AC}|^2 = 2^2 + 2 \cdot 4 + 4^2 = 4 + 8 + 16 = 28$

Следовательно, длина диагонали $AC$ равна:

$|\vec{AC}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см

Найдем квадрат длины диагонали $BD$:

$|\vec{BD}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$

$|\vec{BD}|^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2^2 = 16 - 8 + 4 = 12$

Следовательно, длина диагонали $BD$ равна:

$|\vec{BD}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла между диагоналями:

$\cos(\phi) = \frac{|12|}{(2\sqrt{7}) \cdot (2\sqrt{3})} = \frac{12}{4\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\phi) = \frac{3 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$