Номер 822, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

822. Диаметр основания конуса равен 16 см, а его образующая – 17 см.

Найдите площадь поверхности и объём конуса.

По условию задачи даны диаметр основания конуса $d = 16$ см и его образующая $l = 17$ см.

Для дальнейших расчетов найдем радиус основания ($r$) и высоту конуса ($h$).

1. Радиус основания равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Высота конуса ($h$), радиус основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора $l^2 = r^2 + h^2$ найдем высоту:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь, зная все необходимые параметры, можем вычислить площадь поверхности и объём конуса.

Площадь поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади его основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см$^2$.
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$ см$^2$.
Следовательно, площадь полной поверхности конуса равна:
$S_{полн} = 64\pi + 136\pi = 200\pi$ см$^2$.
Ответ: $200\pi$ см$^2$.

Объём конуса

Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Подставим найденные значения радиуса и высоты:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 15 = \pi \cdot 64 \cdot 5 = 320\pi$ см$^3$.
Ответ: $320\pi$ см$^3$.