Страница 208 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Перечислите элементы цилиндра.

1. Перечислите элементы цилиндра.

Цилиндр (в частности, прямой круговой цилиндр) — это геометрическое тело, которое состоит из следующих элементов:

• Основания: два равных друг другу круга, которые лежат в параллельных плоскостях. Одно основание называют верхним, другое — нижним.
• Боковая поверхность: поверхность, которая соединяет окружности оснований. При развертке боковой поверхности прямого цилиндра получается прямоугольник.
• Образующие: это отрезки, которые соединяют соответствующие точки на окружностях оснований. Все образующие параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям (для прямого цилиндра).
• Ось: прямая, которая проходит через центры оснований.
• Высота ($h$): это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания. Длина этого перпендикуляра и есть значение высоты. У прямого цилиндра высота равна длине образующей.
• Радиус ($r$): это радиус круга, который является основанием цилиндра.

Ответ: Элементами цилиндра являются: два основания, боковая поверхность, образующие, ось, высота ($h$) и радиус ($r$).

2. Какая геометрическая фигура является развёрткой боковой поверхности цилиндра?

Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Чтобы это представить, можно вообразить цилиндр, например, в виде консервной банки с бумажной этикеткой. Если мысленно разрезать эту этикетку по прямой, параллельной оси цилиндра (по его образующей), и развернуть её на плоскости, то мы получим прямоугольник.

У этого прямоугольника будут следующие размеры:

• Одна сторона (ширина) будет равна высоте цилиндра, которую обычно обозначают буквой $h$.
• Другая сторона (длина) будет равна длине окружности основания цилиндра. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — это радиус основания цилиндра.

Таким образом, боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник со сторонами $h$ и $2 \pi r$. Именно поэтому площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется как площадь этого прямоугольника: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Ответ: прямоугольник.

3. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра? Поверхности цилиндра?

Площадь боковой поверхности цилиндра

Боковая поверхность цилиндра — это кривая поверхность, которая соединяет два его круглых основания. Если мысленно разрезать эту поверхность вдоль высоты и развернуть, то получится прямоугольник.
Одна сторона этого прямоугольника будет равна высоте цилиндра $(h)$, а другая — длине окружности его основания. Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — радиус основания.
Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра $(S_{бок})$ равна площади этого прямоугольника, то есть произведению его сторон:
$S_{бок} = C \cdot h = 2 \pi r h$
Здесь $r$ — это радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.
Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Поверхности цилиндра

Полная поверхность цилиндра (или просто поверхность цилиндра) — это сумма площади его боковой поверхности и площадей двух его оснований (верхнего и нижнего). Основания цилиндра представляют собой два одинаковых круга.
Площадь одного круглого основания $(S_{осн})$ находится по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$
Так как у цилиндра два основания, их общая площадь равна $2 \cdot S_{осн} = 2 \pi r^2$.
Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра $(S_{полн})$, нужно сложить площадь боковой поверхности и общую площадь оснований:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$
Подставив формулы для каждой части, получим:
$S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$
Эту формулу можно упростить, вынеся общий множитель $2 \pi r$ за скобки:
$S_{полн} = 2 \pi r (h + r)$
В этих формулах $r$ — это радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.
Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ или $S_{полн} = 2 \pi r (h + r)$.

4. По какой формуле вычисляют объём цилиндра?

По какой формуле вычисляют объём цилиндра?

Объём цилиндра ($V$) — это численная характеристика пространства, занимаемого этим геометрическим телом. Он вычисляется по формуле, связывающей два его основных параметра: радиус основания ($r$) и высоту ($h$). Вывод этой формулы основан на общем принципе вычисления объёма для прямых тел (таких как призмы и цилиндры), который гласит, что объём равен произведению площади основания на высоту.

Процесс вывода формулы можно разбить на шаги:

1. Нахождение площади основания. В основании цилиндра лежит круг. Площадь круга ($S_{осн}$) с радиусом $r$ вычисляется по известной формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$
В этой формуле $\pi$ (пи) — это математическая константа, иррациональное число, приблизительно равное $3,14159$.

2. Умножение площади основания на высоту. Объём цилиндра получается, если "сложить" площади всех оснований по всей высоте. Математически это выражается как умножение площади одного основания на высоту цилиндра ($h$):
$V = S_{осн} \cdot h$

3. Получение итоговой формулы. Если подставить выражение для площади основания из первого шага в формулу из второго шага, мы получим конечную и наиболее часто используемую формулу для вычисления объёма цилиндра:
$V = \pi r^2 h$

Таким образом, для расчёта объёма цилиндра необходимо знать радиус его основания и высоту. Если в условии задачи вместо радиуса дан диаметр ($d$), то радиус можно легко найти, разделив диаметр пополам: $r = d/2$.

Ответ: Объём цилиндра вычисляют по формуле $V = \pi r^2 h$, где $V$ — объём, $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

5. Перечислите элементы конуса.

Конус — это геометрическое тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Основные элементы конуса:

Вершина конуса — это точка, не лежащая в плоскости основания, являющаяся общей точкой для всех образующих.

Основание конуса — это круг, который получается при вращении катета, не лежащего на оси вращения.

Образующая конуса (обозначается как $l$) — это отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой на окружности его основания. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.

Высота конуса (обозначается как $h$) — это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания. В прямом конусе высота совпадает с его осью.

Ось конуса — это прямая, проходящая через вершину и центр основания. Конус называется прямым, если его ось перпендикулярна плоскости основания.

Радиус конуса (обозначается как $r$) — это радиус его основания.

Боковая поверхность конуса — это поверхность, образованная движением образующей. Площадь боковой поверхности прямого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. У прямого кругового конуса осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны — это образующие конуса ($l$), а основание — диаметр основания конуса ($2r$).

Высота ($h$), радиус ($r$) и образующая ($l$) прямого кругового конуса связаны между собой по теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

Ответ: Основными элементами конуса являются: вершина, основание, образующая, высота, ось, радиус, боковая поверхность, осевое сечение.

6. Какая геометрическая фигура является развёрткой боковой поверхности конуса?

6. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Давайте разберемся, почему. Конус — это объёмная фигура, состоящая из круглого основания и боковой поверхности, которая сходится в одной точке, называемой вершиной. Боковая поверхность представляет собой изогнутую плоскость.

Чтобы получить развёртку, нужно мысленно разрезать эту боковую поверхность от вершины до основания по прямой линии (эта линия называется образующей) и развернуть её на плоскости. В результате этой операции мы получим плоскую геометрическую фигуру.

Эта фигура является круговым сектором — то есть, частью круга, ограниченной двумя радиусами и дугой. Параметры этого сектора напрямую связаны с параметрами конуса:

1. Радиус кругового сектора равен длине образующей конуса (обозначим её как $l$). Образующая — это расстояние от вершины конуса до любой точки на окружности его основания.

2. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Если радиус основания конуса равен $R$, то длина его окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$. Соответственно, и длина дуги сектора будет равна $2 \pi R$.

Зная эти параметры, можно также найти и центральный угол сектора $\alpha$. Длина дуги сектора связана с его радиусом ($l$) и углом ($\alpha$ в радианах) формулой $L_{дуги} = l \cdot \alpha$. Так как $L_{дуги} = C = 2 \pi R$, получаем равенство $l \cdot \alpha = 2 \pi R$. Отсюда угол сектора равен $\alpha = \frac{2 \pi R}{l}$.

Таким образом, при разворачивании боковой поверхности конуса на плоскость всегда получается круговой сектор.

Ответ: круговой сектор.

7. Чему равна площадь боковой поверхности конуса? Поверхности конуса?

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса — это площадь его изогнутой поверхности, без учета площади основания. Она представляет собой площадь сектора круга, в который можно развернуть боковую поверхность конуса.

Формула для вычисления площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi R l$

где:
$R$ — это радиус основания конуса,
$l$ — это длина образующей конуса.

Образующая ($l$) — это отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой на окружности его основания. Если известны радиус $R$ и высота конуса $h$, то образующую можно найти по теореме Пифагора, так как радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник: $l = \sqrt{R^2 + h^2}$.

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок} = \pi R l$.

Площадь поверхности конуса

Полная площадь поверхности конуса (или просто площадь поверхности конуса) — это сумма площади его боковой поверхности и площади его основания.

1. Площадь боковой поверхности, как мы выяснили, равна: $S_{бок} = \pi R l$.
2. Основание конуса представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$.

Сложив эти две площади, получаем формулу для полной площади поверхности конуса:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R l + \pi R^2$

Эту формулу часто записывают в более компактном виде, вынося общий множитель $\pi R$ за скобки:

$S_{полн} = \pi R (l + R)$

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна $S_{полн} = \pi R (l + R)$.

8. По какой формуле вычисляют объём конуса?

Объём конуса вычисляется по формуле, которая связывает площадь его основания и высоту. Эта формула является частным случаем общей формулы для объёма любой пирамиды.

Объём конуса ($V$) равен одной трети произведения площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$):
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Поскольку в основании прямого кругового конуса лежит круг, его площадь вычисляется по известной формуле $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — это радиус этого круга (основания конуса).

Если подставить выражение для площади основания в основную формулу объёма, мы получим наиболее распространённую и удобную для расчётов формулу объёма конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

В этой формуле используются следующие обозначения:
$V$ — искомый объём конуса;
$\pi$ (пи) — математическая константа, которая приблизительно равна 3,14159;
$r$ — радиус основания конуса;
$h$ — высота конуса (длина перпендикуляра, проведённого от вершины конуса к его основанию).

Таким образом, для вычисления объёма конуса достаточно знать всего два его параметра: радиус основания и высоту.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

9. Какую фигуру называют сферой?

9. Сфера — это геометрическая фигура в трёхмерном пространстве, представляющая собой совокупность всех точек, которые находятся на одинаковом, строго положительном расстоянии от одной заданной точки. Эта точка называется центром сферы, а заданное расстояние — её радиусом (обозначается как $R$).

Важно отличать понятие "сфера" от понятия "шар". Сфера является двумерной поверхностью, которая ограничивает трёхмерное тело — шар. Таким образом, сфера — это только оболочка, в то время как шар включает в себя и саму сферу, и всё пространство внутри неё.

В прямоугольной декартовой системе координат уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет следующий вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Если центр сферы совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$, то уравнение упрощается:

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

Примерами объектов из реального мира, имеющих сферическую форму, могут служить мыльный пузырь или поверхность футбольного мяча.

Ответ: Сферой называют геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от одной данной точки, называемой центром.

10. Перечислите элементы сферы.

Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек в трехмерном пространстве, расположенных на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Рассмотрим ее основные элементы.

Центр сферы
Это исходная точка (часто обозначается как O), от которой равноудалены все точки, образующие сферу. Сам центр не является частью сферы, так как сфера — это только поверхность.

Радиус сферы
Это отрезок, который соединяет центр сферы с любой точкой на ее поверхности. Длина этого отрезка также называется радиусом и обозначается буквой $R$. Все радиусы одной и той же сферы равны.

Хорда сферы
Это отрезок, который соединяет две любые точки на поверхности сферы.

Диаметр сферы
Это хорда, проходящая через центр сферы. Диаметр является самой длинной из всех возможных хорд. Его длина, обозначаемая буквой $D$, вдвое больше длины радиуса: $D = 2R$.

Большой круг
Это окружность, которая образуется при пересечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Радиус большого круга равен радиусу самой сферы. Примером большого круга на глобусе Земли является экватор.

Малый круг
Это окружность, которая образуется при пересечении сферы плоскостью, не проходящей через ее центр. Радиус малого круга всегда меньше радиуса сферы. Примером малых кругов на глобусе являются параллели (кроме экватора).

Касательная плоскость
Это плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной плоскости.

Секущая плоскость
Это плоскость, которая пересекает сферу. Линией пересечения сферы и секущей плоскости всегда является окружность (большой или малый круг).

Ответ: Элементами сферы являются: центр, радиус, хорда, диаметр, большой круг, малый круг, касательная и секущая плоскости.

11. Какую фигуру ограничивает сфера?

Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром. Таким образом, сфера является двумерной замкнутой поверхностью, то есть "оболочкой" или границей.

Фигура, которую ограничивает сфера, — это шар. Шар представляет собой трехмерное тело, включающее в себя все точки пространства, расстояние от которых до центра не превышает радиус. Другими словами, шар состоит из всех точек внутри сферы и самой сферы.

Для наглядности можно провести аналогию с двумерным пространством: окружность (которая является линией) ограничивает круг (который является плоской фигурой). Точно так же в трехмерном пространстве сфера (поверхность) ограничивает шар (тело).

Это различие можно показать и математически. Если центр сферы находится в начале координат, а ее радиус равен $R$, то уравнение сферы имеет вид:
$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$
В то же время шар, ограниченный этой сферой, описывается неравенством, включающим все внутренние точки:
$x^2 + y^2 + z^2 \le R^2$

Ответ: шар.

12. По какой формуле вычисляют площадь поверхности шара?

$S = 4\pi r^2$

Площадь поверхности шара, также известная как площадь сферы, вычисляется по стандартной математической формуле. Эта формула устанавливает зависимость между площадью поверхности и радиусом шара.

Основная формула для вычисления площади поверхности шара ($S$) через его радиус ($R$):
$S = 4 \pi R^2$

В этой формуле:
$S$ — это искомая площадь поверхности шара.
$R$ — это радиус шара, то есть расстояние от центра шара до любой точки на его поверхности.
$\pi$ (пи) — это математическая константа, значение которой приблизительно равно $3.14159$.

Из формулы видно, что площадь поверхности шара в четыре раза больше площади большого круга этого же шара (площадь большого круга равна $\pi R^2$).

Также существует формула для вычисления площади поверхности шара через его диаметр ($D$). Поскольку диаметр равен удвоенному радиусу ($D = 2R$), радиус можно выразить как $R = D/2$. Подставив это в основную формулу, получим:
$S = 4 \pi (D/2)^2 = 4 \pi (D^2/4) = \pi D^2$

Таким образом, альтернативная формула: $S = \pi D^2$.

Ответ: $S = 4 \pi R^2$

13. По какой формуле вычисляют объём шара?

Объём шара вычисляется по формуле, которая связывает его с радиусом. Эта формула является одной из фундаментальных в стереометрии.

Формула для вычисления объёма шара ($V$) через его радиус ($R$) выглядит так:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

В этой формуле $V$ — это объём, $R$ — радиус шара, а $\pi$ (пи) — это математическая константа, которая приблизительно равна 3,14159.

Радиус шара — это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой на его поверхности. Важно отметить, что объём зависит от радиуса в третьей степени. Это означает, что при увеличении радиуса в 2 раза, объём шара увеличится в $2^3=8$ раз.

Если в задаче вместо радиуса дан диаметр шара ($D$), то для вычисления объёма сначала находят радиус по формуле $R = \frac{D}{2}$ и подставляют его в основную формулу. Также можно использовать производную формулу для расчёта объёма через диаметр:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{D}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{D^3}{8} = \frac{\pi D^3}{6}$

Таким образом, зная радиус или диаметр, можно однозначно определить объём шара.

Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.