Страница 202 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Что такое площадь поверхности призмы?

Площадь поверхности призмы — это сумма площадей всех её граней. Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим, из чего состоит призма. Любая призма имеет два одинаковых (конгруэнтных) основания, которые являются многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, и боковые грани, которые соединяют эти основания. Боковые грани всегда являются параллелограммами (в частном случае прямой призмы — прямоугольниками).

Таким образом, чтобы найти площадь всей поверхности призмы, необходимо сложить площади двух оснований и площади всех боковых граней. В связи с этим принято разделять площадь поверхности на два вида:

1. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей только боковых граней. Для прямой призмы, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям, её можно легко вычислить по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — это периметр основания, а $h$ — высота призмы.

2. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) — это то, что обычно и подразумевается под «площадью поверхности». Она включает в себя и боковую поверхность, и оба основания. Её формула: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{осн}$ — это площадь одного основания.

Объединив эти формулы для прямой призмы, мы получаем наиболее часто используемую формулу для вычисления полной площади поверхности: $S_{полн} = (P_{осн} \cdot h) + (2 \cdot S_{осн})$.

Ответ: Площадь поверхности призмы — это сумма площадей всех её граней (двух оснований и боковых граней). Она вычисляется как сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$. Для прямой призмы формула выглядит как $S_{полн} = P_{осн} \cdot h + 2 \cdot S_{осн}$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота.

8. По какой формуле вычисляют объём прямой призмы?

Объём прямой призмы, как и любой другой призмы, вычисляется путём умножения площади её основания на высоту. Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Вследствие этого высота прямой призмы равна длине её бокового ребра.

Формула для вычисления объёма прямой призмы выглядит следующим образом:

$$V = S_{осн} \cdot h$$

Расшифровка обозначений в формуле:
$V$ — искомый объём призмы.
$S_{осн}$ — площадь основания призмы. Основанием может быть любой многоугольник (например, треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция, шестиугольник), и для вычисления его площади используются соответствующие формулы геометрии.
$h$ — высота призмы. Для прямой призмы, как было сказано выше, высота совпадает с длиной её бокового ребра.

Таким образом, алгоритм нахождения объёма прямой призмы состоит из двух шагов: сначала найти площадь многоугольника в основании, а затем умножить это значение на высоту призмы (длину бокового ребра).

Ответ: Объём прямой призмы вычисляют по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания призмы, а $h$ — её высота.

9. Поясните, какой многогранник называют пирамидой.

Пирамида — это многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) является произвольным многоугольником, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — это треугольники, имеющие общую вершину.

Ключевые элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник, который не содержит вершину пирамиды.
• Вершина пирамиды — общая точка всех боковых граней, не лежащая в плоскости основания.
• Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине. Их количество равно количеству сторон основания.
• Боковые рёбра — отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами многоугольника в основании.
• Высота пирамиды ($H$) — это отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины пирамиды к плоскости её основания.

Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника в их основании:

• Треугольная пирамида (также называемая тетраэдром): в основании лежит треугольник.
• Четырёхугольная пирамида: в основании лежит четырёхугольник.
• n-угольная пирамида: в основании лежит n-угольник.

Особый и важный вид пирамиды — это правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если выполнены два условия:

1. Её основание — правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник или квадрат).
2. Её вершина проецируется в центр основания (то есть основание высоты пирамиды совпадает с центром многоугольника в основании).

У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, а все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Ответ: Пирамидой называют многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, — это многоугольник, а все остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

10. Перечислите элементы пирамиды.

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание) является многоугольником, а все остальные грани (боковые грани) — это треугольники с общей вершиной.

Ключевые элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник, на котором "стоит" пирамида.
• Вершина — общая точка всех боковых граней, не лежащая в плоскости основания.
• Боковые грани — треугольники, соединяющие основание с вершиной.
• Боковые рёбра — отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Это общие стороны боковых граней.
• Рёбра основания — стороны многоугольника в основании.
• Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости её основания.
• Апофема — высота боковой грани, проведённая из вершины правильной пирамиды. Этот элемент определяется для правильных пирамид (у которых в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания).

Ответ: Элементы пирамиды: основание, вершина, боковые грани, боковые рёбра, рёбра основания, высота, апофема (для правильной пирамиды).

11. Что такое площадь поверхности пирамиды?

Площадь поверхности пирамиды (или площадь полной поверхности пирамиды) — это сумма площадей всех её граней, то есть площади основания и площадей всех боковых граней.

Поверхность пирамиды состоит из двух основных частей:

• Основание — многоугольник, на котором "стоит" пирамида.
• Боковая поверхность — это совокупность всех боковых граней, которые являются треугольниками, сходящимися в одной общей вершине.

Для вычисления площади полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) используется общая формула:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

где:

• $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды. Способ её нахождения зависит от формы многоугольника в основании (например, для квадратного основания со стороной $a$ площадь равна $a^2$, для треугольного — половине произведения основания на высоту, и т.д.).
• $S_{бок}$ — это площадь боковой поверхности. В общем случае она находится как сумма площадей всех боковых граней-треугольников.

Для правильной пирамиды, у которой в основании лежит правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник), а вершина проецируется в его центр, вычисление площади боковой поверхности значительно упрощается.

В этом случае все боковые грани являются равными друг другу равнобедренными треугольниками. Высота такой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой (обычно обозначается как $l$ или $h_a$).

Формула площади боковой поверхности для правильной пирамиды выглядит так:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$

где:

• $P$ — это периметр основания пирамиды.
• $l$ — это длина апофемы.

Ответ: Площадь поверхности пирамиды — это сумма площади её основания и площади её боковой поверхности (которая, в свою очередь, является суммой площадей всех её боковых граней).

12. Что называют высотой пирамиды?

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой пирамиды и обозначается, как правило, буквой $h$. Точка, в которой высота пересекает плоскость основания, называется основанием высоты. В зависимости от вида пирамиды, основание высоты может находиться как внутри многоугольника, лежащего в основании пирамиды, так и за его пределами.

Ответ: Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

13. По какой формуле вычисляют объём пирамиды?

Объём пирамиды — это одна треть от произведения площади её основания на высоту. Эта формула является универсальной и применяется для любой пирамиды, вне зависимости от того, какой многоугольник лежит в её основании.

Формула для вычисления объёма пирамиды выглядит следующим образом:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

В данной формуле используются следующие обозначения:

V — объём пирамиды;
S_осн — площадь основания пирамиды. Основанием может быть треугольник, квадрат, прямоугольник или любой другой многоугольник, и для нахождения его площади используются соответствующие геометрические формулы;
h — высота пирамиды, которая определяется как длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Таким образом, для вычисления объёма необходимо знать два параметра: площадь основания и высоту пирамиды.

Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.

791. На рисунке 265 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите:

1) основания параллелепипеда;

2) боковые грани параллелепипеда;

3) боковые рёбра параллелепипеда;

4) рёбра нижнего основания параллелепипеда;

5) рёбра, параллельные ребру $AB$;

6) рёбра, параллельные ребру $BB_1$.

Рис. 265

1) основания параллелепипеда

Основаниями параллелепипеда являются две его противолежащие грани, которые в данном случае являются равными прямоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На рисунке это нижнее основание $ABCD$ и верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) боковые грани параллелепипеда

Боковыми гранями называются грани, которые соединяют основания параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда это четыре прямоугольника: передняя грань $ABB_1A_1$, задняя грань $DCC_1D_1$, правая грань $BCC_1B_1$ и левая грань $ADD_1A_1$.
Ответ: $ABB_1A_1$, $DCC_1D_1$, $BCC_1B_1$, $ADD_1A_1$.

3) боковые рёбра параллелепипеда

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. В прямоугольном параллелепипеде все боковые рёбра параллельны и равны. Это рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.
Ответ: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

4) рёбра нижнего основания параллелепипеда

Нижнее основание параллелепипеда — это прямоугольник $ABCD$. Его рёбрами являются стороны этого прямоугольника. Это отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.
Ответ: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

5) рёбра, параллельные ребру AB

Рёбра, параллельные данному ребру, — это рёбра, которые лежат на параллельных прямых. Для ребра $AB$ это противолежащее ему ребро в том же основании ($DC$) и соответствующие им рёбра в другом основании ($A_1B_1$ и $D_1C_1$).
Ответ: $DC$, $A_1B_1$, $D_1C_1$.

6) рёбра, параллельные ребру BB₁

Ребро $BB_1$ является боковым ребром. Все боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда параллельны между собой. Следовательно, ребру $BB_1$ параллельны рёбра $AA_1$, $CC_1$ и $DD_1$.
Ответ: $AA_1$, $CC_1$, $DD_1$.

792. На рисунке 266 изображена прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Укажите:

1) основания призмы;

2) боковые грани призмы;

3) боковые рёбра призмы;

4) рёбра основания призмы;

5) все пары параллельных рёбер призмы.

Рис. 266

1) основания призмы; Основаниями призмы являются два конгруэнтных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. В данной призме $ABCA_1B_1C_1$ основаниями являются треугольники $ABC$ (нижнее основание) и $A_1B_1C_1$ (верхнее основание).
Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

2) боковые грани призмы; Боковые грани — это многоугольники, соединяющие основания призмы. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, её боковые грани — это прямоугольники. Каждая боковая грань образована двумя боковыми рёбрами и соответствующими рёбрами оснований.
Ответ: Прямоугольники $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$.

3) боковые рёбра призмы; Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. В прямой призме все боковые рёбра равны по длине и параллельны друг другу.
Ответ: Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

4) рёбра основания призмы; Рёбра оснований — это стороны многоугольников, лежащих в основаниях. Для данной призмы это стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
Ответ: $AB$, $BC$, $AC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$.

5) все пары параллельных рёбер призмы. В прямой призме существуют две группы параллельных рёбер:
1. Боковые рёбра параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$.
2. Соответствующие рёбра оснований параллельны друг другу, так как основания лежат в параллельных плоскостях и являются конгруэнтными: $AB \parallel A_1B_1$, $BC \parallel B_1C_1$, $AC \parallel A_1C_1$.
Ответ: $AA_1$ и $BB_1$; $BB_1$ и $CC_1$; $AA_1$ и $CC_1$; $AB$ и $A_1B_1$; $BC$ и $B_1C_1$; $AC$ и $A_1C_1$.

793. На рисунке 267 изображена пирамида $MABC$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды.

Рис. 265

Рис. 266

Рис. 267

1) основание пирамиды;
Основанием пирамиды является многоугольник, который служит её "дном". Вершина пирамиды не принадлежит плоскости этого многоугольника. В пирамиде $MABC$, согласно названию и изображению на рисунке 267, основанием является треугольник, образованный точками $A$, $B$ и $C$.
Ответ: треугольник $ \triangle ABC $.

2) вершину пирамиды;
Вершина пирамиды — это точка, в которой сходятся все боковые рёбра, и которая не лежит в плоскости основания. Для пирамиды $MABC$ такой точкой является точка $M$.
Ответ: точка $M$.

3) боковые грани пирамиды;
Боковые грани — это треугольники, которые соединяют вершину пирамиды со сторонами (рёбрами) её основания. В данной пирамиде каждая сторона основания ($AB$, $BC$, $AC$) вместе с вершиной $M$ образует боковую грань. Такими гранями являются треугольники $MAB$, $MBC$ и $MAC$.
Ответ: треугольники $ \triangle MAB $, $ \triangle MBC $ и $ \triangle MAC $.

4) боковые рёбра пирамиды;
Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания. В пирамиде $MABC$ вершины основания — это точки $A$, $B$, $C$, а вершина пирамиды — точка $M$. Следовательно, боковыми рёбрами являются отрезки, соединяющие $M$ с каждой из этих точек.
Ответ: отрезки $MA$, $MB$, $MC$.

5) рёбра основания пирамиды.
Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Поскольку основанием пирамиды $MABC$ является треугольник $ \triangle ABC $, его рёбрами являются стороны этого треугольника.
Ответ: отрезки $AB$, $BC$, $AC$.