Страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

794. На рисунке 268 изображена пирамида $SABCD$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды.

Рис. 268

Рис. 269

a

б

1) основание пирамиды;

Основанием пирамиды является многоугольник, который не содержит вершину пирамиды. В данной пирамиде $SABCD$ основанием является четырехугольник, вершины которого обозначены буквами $A, B, C, D$.

Ответ: четырехугольник $ABCD$.

2) вершину пирамиды;

Вершина пирамиды — это общая точка всех боковых граней, не лежащая в плоскости основания. В пирамиде $SABCD$ этой точкой является $S$.

Ответ: точка $S$.

3) боковые грани пирамиды;

Боковые грани пирамиды — это треугольники, которые соединяют вершину пирамиды с рёбрами её основания. Для пирамиды $SABCD$ боковыми гранями являются:

• треугольник $SAB$, образованный вершиной $S$ и ребром основания $AB$;
• треугольник $SBC$, образованный вершиной $S$ и ребром основания $BC$;
• треугольник $SCD$, образованный вершиной $S$ и ребром основания $CD$;
• треугольник $SDA$, образованный вершиной $S$ и ребром основания $DA$.

Ответ: $\triangle SAB, \triangle SBC, \triangle SCD, \triangle SDA$.

4) боковые рёбра пирамиды;

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. В пирамиде $SABCD$ вершина — это точка $S$, а вершины основания — это точки $A, B, C, D$. Следовательно, боковыми рёбрами являются отрезки, соединяющие $S$ с каждой из этих вершин.

Ответ: $SA, SB, SC, SD$.

5) рёбра основания пирамиды.

Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Основанием является четырехугольник $ABCD$, его сторонами (рёбрами) являются отрезки, соединяющие его вершины.

Ответ: $AB, BC, CD, DA$.

795. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой треугольной призмы, основанием которой является правильный треугольник со стороной 6 см, а боковое ребро равно 4 см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.
Основанием призмы является правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Периметр такого треугольника равен:
$P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Так как призма прямая, её боковое ребро является высотой, то есть $h = 4$ см.
Теперь найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 18 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$.
Ответ: $72 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности
Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь боковой поверхности мы уже нашли: $S_{бок} = 72 \text{ см}^2$.
Теперь найдём площадь основания ($S_{осн}$). Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Подставим наши значения:
$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Теперь вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 72 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 72 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $(72 + 18\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

Объём
Объём прямой призмы ($V$) вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$.
Мы уже знаем площадь основания $S_{осн} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$ и высоту $h = 4$ см.
Вычислим объём:
$V = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 36\sqrt{3} \text{ см}^3$.
Ответ: $36\sqrt{3} \text{ см}^3$.

796. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой четырёхугольной призмы, основанием которой является квадрат со стороной 7 см, а боковое ребро равно 6 см.

Поскольку призма прямая, её боковые грани — прямоугольники, а высота $h$ равна боковому ребру. Основанием является квадрат со стороной $a$.

Дано:

Сторона основания (квадрата) $a = 7$ см.

Боковое ребро (высота) $h = 6$ см.

площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

Формула: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

1. Найдём периметр основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 7$ см, его периметр равен:

$P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 7 = 28$ см.

2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, зная, что высота $h = 6$ см:

$S_{бок} = 28 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 168$ см².

Ответ: 168 см².

площадь поверхности

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн}$).

Формула: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

1. Площадь боковой поверхности уже найдена: $S_{бок} = 168$ см².

2. Найдём площадь одного основания. Так как основание — квадрат со стороной $a = 7$ см, его площадь равна:

$S_{осн} = a^2 = 7^2 = 49$ см².

3. Вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 168 + 2 \cdot 49 = 168 + 98 = 266$ см².

Ответ: 266 см².

объём

Объём призмы ($V$) равен произведению площади её основания на высоту.

Формула: $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Площадь основания и высота нам известны:

$S_{осн} = 49$ см²;

$h = 6$ см.

2. Вычислим объём:

$V = 49 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 294$ см³.

Ответ: 294 см³.

797. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 269 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 269

а

Для призмы а):

Высота призмы $h = 10$ см.

Стороны основания (треугольника) $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Периметр основания $P_б = a + b + c$.

Площадь основания $S_б$ (по формуле Герона): $p = \frac{a+b+c}{2}$, $S_б = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_б \cdot h$.

Площадь полной поверхности $S_{пов} = S_{бок} + 2S_б$.

Объём призмы $V = S_б \cdot h$.

б

Для призмы б):

Высота призмы $h = 9$ см.

Стороны основания (параллелограмма) $a = 6$ см, $b = 8$ см.

Угол между сторонами основания $\alpha = 30^\circ$ или $\alpha = 150^\circ$.

Периметр основания $P_б = 2(a+b)$.

Площадь основания $S_б = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_б \cdot h$.

Площадь полной поверхности $S_{пов} = S_{бок} + 2S_б$.

Объём призмы $V = S_б \cdot h$.

а

Данная фигура – прямая треугольная призма. В её основании лежит треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см. Высота призмы $h = 10$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания.
Найдем периметр основания: $P_{осн} = 13 + 14 + 15 = 42$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 42 \cdot 10 = 420$ см².

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь основания ($S_{осн}$) найдем по формуле Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.
Полупериметр: $p = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
$S_{осн} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².
Следовательно, площадь полной поверхности: $S_{полн} = 420 + 2 \cdot 84 = 420 + 168 = 588$ см².

Объём ($V$) призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$.
$V = 84 \cdot 10 = 840$ см³.

Ответ: площадь боковой поверхности – 420 см², площадь полной поверхности – 588 см², объём – 840 см³.

б

Это прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм. Стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 150^\circ$. Высота призмы $h = 9$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Периметр параллелограмма: $P_{осн} = 2(a+b) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 28 \cdot 9 = 252$ см².

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь основания (параллелограмма) вычисляется по формуле $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.
$S_{осн} = 6 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см².
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 252 + 2 \cdot 24 = 252 + 48 = 300$ см².

Объём ($V$) призмы равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$.
$V = 24 \cdot 9 = 216$ см³.

Ответ: площадь боковой поверхности – 252 см², площадь полной поверхности – 300 см², объём – 216 см³.

798. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 270 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 270

На рисунке изображена прямая призма. В её основании лежит треугольник, две стороны которого равны $a=8$ см и $b=12$ см, а угол между ними $\gamma=60^\circ$. Высота призмы (длина бокового ребра) равна $H=6$ см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

1. Сначала найдем третью сторону основания (обозначим ее $c$), используя теорему косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

$c^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 144 - 192 \cdot \frac{1}{2} = 208 - 96 = 112$

$c = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

2. Теперь найдем периметр основания:

$P_{осн} = a + b + c = 8 + 12 + 4\sqrt{7} = 20 + 4\sqrt{7}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (20 + 4\sqrt{7}) \cdot 6 = 120 + 24\sqrt{7}$ см².

Ответ: $120 + 24\sqrt{7}$ см².

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$) по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Теперь вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = (120 + 24\sqrt{7}) + 2 \cdot (24\sqrt{3}) = 120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}$ см².

Объём

Объём прямой призмы ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.

1. Площадь основания нам уже известна: $S_{осн} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Высота призмы $H = 6$ см.

3. Вычислим объём:

$V = S_{осн} \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 6 = 144\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $144\sqrt{3}$ см³.

799. Вычислите объём пирамиды $MABC$ (рис. 271), основание которой — треугольник $ABC$, $BC = 4,8$ см, $AK$ — высота треугольника $ABC$, $AK = 3,5$ см, $MO$ — высота пирамиды, $MO = 4,5$ см.

Рис. 271

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании данной пирамиды $MABC$ лежит треугольник $ABC$. Сначала найдём его площадь. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. По условию задачи нам даны сторона $BC = 4,8$ см и проведённая к ней высота $AK = 3,5$ см.

Вычислим площадь основания:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 4,8 \cdot 3,5 = 2,4 \cdot 3,5 = 8,4$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды $H = MO = 4,5$ см, можем вычислить её объём:

$V_{MABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot MO = \frac{1}{3} \cdot 8,4 \cdot 4,5 = 2,8 \cdot 4,5 = 12,6$ см³.

Ответ: 12,6 см³.