Номер 798, страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

798. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 270 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 270

На рисунке изображена прямая призма. В её основании лежит треугольник, две стороны которого равны $a=8$ см и $b=12$ см, а угол между ними $\gamma=60^\circ$. Высота призмы (длина бокового ребра) равна $H=6$ см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

1. Сначала найдем третью сторону основания (обозначим ее $c$), используя теорему косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

$c^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 144 - 192 \cdot \frac{1}{2} = 208 - 96 = 112$

$c = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

2. Теперь найдем периметр основания:

$P_{осн} = a + b + c = 8 + 12 + 4\sqrt{7} = 20 + 4\sqrt{7}$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (20 + 4\sqrt{7}) \cdot 6 = 120 + 24\sqrt{7}$ см².

Ответ: $120 + 24\sqrt{7}$ см².

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$) по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Теперь вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = (120 + 24\sqrt{7}) + 2 \cdot (24\sqrt{3}) = 120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $120 + 24\sqrt{7} + 48\sqrt{3}$ см².

Объём

Объём прямой призмы ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.

1. Площадь основания нам уже известна: $S_{осн} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Высота призмы $H = 6$ см.

3. Вычислим объём:

$V = S_{осн} \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 6 = 144\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $144\sqrt{3}$ см³.