Номер 805, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

805. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды $SABC$, если $SA = SB = SC = 8$ см, $\angle ASB = \angle ASC = \angle CSB = 45^\circ$.

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей ее боковых граней. В данном случае боковыми гранями являются треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$.

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAC} + S_{\triangle SBC}$

Согласно условию задачи, все боковые ребра пирамиды равны ($SA = SB = SC = 8$ см), и все плоские углы при вершине S также равны ($\angle ASB = \angle ASC = \angle CSB = 45°$).

Это означает, что боковые грани пирамиды — треугольники $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$ — являются равными между собой по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, их площади равны, и для нахождения площади боковой поверхности достаточно найти площадь одной из граней и умножить ее на три.

$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SAB}$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Применим эту формулу для треугольника $\triangle SAB$:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB)$

Подставим известные значения:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(45°) = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}$ см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = 3 \cdot 16\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$ см².

Ответ: $48\sqrt{2}$ см².