Номер 804, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

804. Слиток меди длиной 50 см имеет форму прямой призмы, основанием которой является равнобокая трапеция, параллельные стороны которой равны 6 см и 14 см, а боковая сторона – 8,5 см. Установите, есть ли внутри слитка пустоты или он является сплошным, если масса слитка равна 32 кг, а плотность меди – $9,0 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Чтобы определить, есть ли внутри слитка пустоты, необходимо сравнить его геометрический объем, вычисленный по заданным размерам, с фактическим объемом меди, который можно найти, зная массу слитка и плотность материала.

Вычисление геометрического объема слитка

Слиток имеет форму прямой призмы, объем которой ($V_{геом}$) равен произведению площади ее основания ($S_{осн}$) на высоту призмы ($H$), которая в данном случае является длиной слитка.

$V_{геом} = S_{осн} \cdot H$

Основанием призмы является равнобокая трапеция. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — параллельные стороны (основания) трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи имеем: $a = 14$ см, $b = 6$ см, боковая сторона $c = 8,5$ см, длина слитка $H = 50$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. В равнобокой трапеции высота, боковая сторона и отрезок большего основания, равный полуразности оснований, образуют прямоугольный треугольник. Найдем этот отрезок:

$\frac{a-b}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{8,5^2 - 4^2} = \sqrt{72,25 - 16} = \sqrt{56,25} = 7,5$ см.

Теперь можем вычислить площадь основания трапеции:

$S_{осн} = \frac{14 + 6}{2} \cdot 7,5 = \frac{20}{2} \cdot 7,5 = 10 \cdot 7,5 = 75$ см².

Наконец, вычислим геометрический объем слитка:

$V_{геом} = S_{осн} \cdot H = 75 \text{ см}^2 \cdot 50 \text{ см} = 3750$ см³.

Вычисление фактического объема меди в слитке

Фактический объем меди ($V_{факт}$) можно найти по формуле, связывающей массу ($m$), плотность ($\rho$) и объем:

$V_{факт} = \frac{m}{\rho}$

Для удобства расчетов приведем данные к единой системе измерений, например, СГС (сантиметр, грамм, секунда).

Масса слитка: $m = 32$ кг = $32000$ г.

Плотность меди: $\rho = 9,0 \cdot 10^3$ кг/м³.

Переведем плотность в г/см³:

$\rho = 9,0 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 9000 \frac{1000 \text{ г}}{(100 \text{ см})^3} = 9000 \frac{1000 \text{ г}}{1000000 \text{ см}^3} = 9,0$ г/см³.

Теперь вычислим фактический объем меди:

$V_{факт} = \frac{m}{\rho} = \frac{32000 \text{ г}}{9,0 \text{ г/см}^3} \approx 3555,56$ см³.

Сравнение объемов и вывод

Сравним вычисленные объемы:

Геометрический объем слитка: $V_{геом} = 3750$ см³.

Фактический объем меди: $V_{факт} \approx 3555,56$ см³.

Так как геометрический объем слитка ($V_{геом}$) больше, чем фактический объем меди в нем ($V_{факт}$), это означает, что внутри слитка есть пустое пространство (пустоты).

$3750 \text{ см}^3 > 3555,56 \text{ см}^3$

Ответ: Внутри слитка есть пустоты.