Номер 809, страница 205 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Прямая призма. Пирамида. Глава 6. Начальные сведения по стериометрии - номер 809, страница 205.

Условие.

809. Два треугольника имеют по две соответственно равные стороны, а сумма углов треугольников между этими сторонами равна $180^\circ$. Докажите, что данные треугольники равновелики.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь треугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется как $S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Пусть первый треугольник имеет стороны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$. Его площадь $S_1$ равна: $S_1 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

По условию, второй треугольник имеет две стороны, соответственно равные сторонам первого, то есть их длины также равны $a$ и $b$. Пусть угол между этими сторонами равен $\beta$. Тогда площадь второго треугольника $S_2$ равна: $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(\beta)$.

Также из условия задачи известно, что сумма углов $\alpha$ и $\beta$ составляет $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Из этого соотношения выразим угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Теперь подставим это выражение для $\beta$ в формулу площади второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(180^\circ - \alpha)$.

Согласно формулам приведения в тригонометрии, для любого угла $\alpha$ справедливо тождество: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Применив это тождество, мы получаем, что площадь второго треугольника равна: $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Сравнивая полученные выражения для площадей, мы видим, что они идентичны: $S_1 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$ и $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Следовательно, $S_1 = S_2$, что и означает, что данные треугольники равновелики (имеют равные площади). Утверждение доказано.

Ответ: Данные треугольники равновелики.