Страница 205 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

808. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 17 см, 17 см и 16 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 20 см.

Для нахождения объёма пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота.

В данном случае основанием является треугольник со сторонами $a = 17$ см, $b = 17$ см и $c = 16$ см. Так как известны все три стороны треугольника, его площадь удобно вычислить по формуле Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Найдём полупериметр треугольника (p): $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17 + 17 + 16}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

2. Вычислим площадь основания ($S_{осн}$): Подставим значения в формулу Герона: $S_{осн} = \sqrt{25(25-17)(25-17)(25-16)}$ $S_{осн} = \sqrt{25 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 9}$ Для удобства извлечения корня, представим числа в виде квадратов: $S_{осн} = \sqrt{5^2 \cdot 8^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(5 \cdot 8 \cdot 3)^2} = 5 \cdot 8 \cdot 3 = 120$ см².

3. Найдём объём пирамиды (V): Высота пирамиды дана по условию: $h = 20$ см. Подставим найденную площадь основания и высоту в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 20 = 40 \cdot 20 = 800$ см³.

Ответ: объём пирамиды равен $800$ см³.

809. Два треугольника имеют по две соответственно равные стороны, а сумма углов треугольников между этими сторонами равна $180^\circ$. Докажите, что данные треугольники равновелики.

Для доказательства воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь треугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется как $S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Пусть первый треугольник имеет стороны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$. Его площадь $S_1$ равна: $S_1 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

По условию, второй треугольник имеет две стороны, соответственно равные сторонам первого, то есть их длины также равны $a$ и $b$. Пусть угол между этими сторонами равен $\beta$. Тогда площадь второго треугольника $S_2$ равна: $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(\beta)$.

Также из условия задачи известно, что сумма углов $\alpha$ и $\beta$ составляет $180^\circ$: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Из этого соотношения выразим угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha$.

Теперь подставим это выражение для $\beta$ в формулу площади второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(180^\circ - \alpha)$.

Согласно формулам приведения в тригонометрии, для любого угла $\alpha$ справедливо тождество: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Применив это тождество, мы получаем, что площадь второго треугольника равна: $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Сравнивая полученные выражения для площадей, мы видим, что они идентичны: $S_1 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$ и $S_2 = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$.

Следовательно, $S_1 = S_2$, что и означает, что данные треугольники равновелики (имеют равные площади). Утверждение доказано.

Ответ: Данные треугольники равновелики.

810. Даны точки $A (5; 2)$, $B (-7; 1)$ и $C (1; -5)$, отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой $AM$.

Поскольку отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, точка $M$ — это середина стороны $BC$. Чтобы составить уравнение прямой $AM$, нам необходимо найти координаты точки $M$, а затем использовать координаты точек $A$ и $M$.

1. Нахождение координат точки M
Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $B(-7; 1)$ и $C(1; -5)$ координаты точки $M(x_M; y_M)$ равны:
$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Следовательно, координаты точки $M$ равны $(-3; -2)$.

2. Составление уравнения прямой AM
Теперь у нас есть координаты двух точек, принадлежащих искомой прямой: $A(5; 2)$ и $M(-3; -2)$.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, имеет вид:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек $A$ и $M$ в эту формулу:
$\frac{x - 5}{-3 - 5} = \frac{y - 2}{-2 - 2}$
$\frac{x - 5}{-8} = \frac{y - 2}{-4}$
Для упрощения уравнения умножим обе части на $-8$:
$x - 5 = \frac{-8}{-4}(y - 2)$
$x - 5 = 2(y - 2)$
Раскроем скобки:
$x - 5 = 2y - 4$
Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$x - 2y - 5 + 4 = 0$
$x - 2y - 1 = 0$

Ответ: $x - 2y - 1 = 0$