Номер 810, страница 205 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

810. Даны точки $A (5; 2)$, $B (-7; 1)$ и $C (1; -5)$, отрезок $AM$ – медиана треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой $AM$.

Поскольку отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, точка $M$ — это середина стороны $BC$. Чтобы составить уравнение прямой $AM$, нам необходимо найти координаты точки $M$, а затем использовать координаты точек $A$ и $M$.

1. Нахождение координат точки M
Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $B(-7; 1)$ и $C(1; -5)$ координаты точки $M(x_M; y_M)$ равны:
$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Следовательно, координаты точки $M$ равны $(-3; -2)$.

2. Составление уравнения прямой AM
Теперь у нас есть координаты двух точек, принадлежащих искомой прямой: $A(5; 2)$ и $M(-3; -2)$.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, имеет вид:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек $A$ и $M$ в эту формулу:
$\frac{x - 5}{-3 - 5} = \frac{y - 2}{-2 - 2}$
$\frac{x - 5}{-8} = \frac{y - 2}{-4}$
Для упрощения уравнения умножим обе части на $-8$:
$x - 5 = \frac{-8}{-4}(y - 2)$
$x - 5 = 2(y - 2)$
Раскроем скобки:
$x - 5 = 2y - 4$
Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$x - 2y - 5 + 4 = 0$
$x - 2y - 1 = 0$

Ответ: $x - 2y - 1 = 0$