Номер 807, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

807. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 10 см, а одна из диагоналей – 16 см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 11 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб. Для нахождения объёма нам нужно сначала вычислить площадь этого ромба. Дано: сторона ромба $a = 10$ см, одна из диагоналей $d_1 = 16$ см, высота пирамиды $H = 11$ см.

Площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Нам нужно найти вторую диагональ $d_2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — это половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$).

Используем теорему Пифагора для одного из этих треугольников: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$.

Нам известна сторона $a=10$ см и одна диагональ $d_1=16$ см. Значит, половина этой диагонали равна $\frac{16}{2} = 8$ см. Подставим известные значения в уравнение:

$10^2 = 8^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$100 = 64 + (\frac{d_2}{2})^2$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 64 = 36$

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{36} = 6$ см

Таким образом, вся вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь ромба (основания пирамиды):

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ см².

Наконец, вычислим объём пирамиды, зная площадь основания $S_{осн} = 96$ см² и высоту $H = 11$ см:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 11 = 32 \cdot 11 = 352$ см³.

Ответ: $352$ см³.