Номер 806, страница 204 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

806. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды $SABCD$, если $SA = SB = SC = SD = 6$ см, $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = 30^\circ$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней. В данном случае боковыми гранями являются четыре треугольника: $\triangle ASB$, $\triangle BSC$, $\triangle CSD$ и $\triangle ASD$.

Согласно условию задачи, все боковые ребра пирамиды равны между собой ($SA = SB = SC = SD = 6$ см), и все плоские углы при вершине S также равны ($\angle ASB = \angle BSC = \angle CSD = \angle ASD = 30^\circ$).

Рассмотрим боковые грани. Каждая из них является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами по 6 см и углом между ними $30^\circ$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все четыре боковых грани-треугольника равны между собой: $\triangle ASB \cong \triangle BSC \cong \triangle CSD \cong \triangle ASD$.

Следовательно, площади этих треугольников также равны. Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, достаточно вычислить площадь одной из граней и умножить результат на 4.

Вычислим площадь треугольника $\triangle ASB$ по формуле площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma$.

В нашем случае стороны $a = SA = 6$ см, $b = SB = 6$ см, а угол между ними $\gamma = \angle ASB = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:
$S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:
$S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = \frac{36}{4} = 9$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех одинаковых треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle ASB} = 4 \cdot 9 = 36$ см$^2$.

Ответ: 36 см$^2$.