Страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

811. На рисунке 281 изображён цилиндр. Укажите:

Рис. 281

1) ось цилиндра;
Осью цилиндра является отрезок, который соединяет центры его оснований. В данном цилиндре центры оснований — это точки $O$ и $O_1$. Следовательно, осью цилиндра является отрезок $OO_1$.
Ответ: $OO_1$.

2) образующую цилиндра;
Образующая цилиндра — это отрезок, который соединяет соответствующие точки на окружностях оснований и параллелен оси цилиндра. На рисунке 281 таким отрезком является $AB$, так как он соединяет точку $A$ на нижнем основании с точкой $B$ на верхнем основании.
Ответ: $AB$.

3) радиус нижнего основания цилиндра;
Радиус основания — это отрезок, соединяющий центр основания с любой точкой на его окружности. Центр нижнего основания — точка $O$, а точка $A$ лежит на окружности этого основания. Таким образом, радиусом нижнего основания является отрезок $OA$.
Ответ: $OA$.

4) радиус верхнего основания цилиндра.
Аналогично предыдущему пункту, радиусом верхнего основания является отрезок, соединяющий его центр (точку $O_1$) с любой точкой на его окружности (например, точкой $B$). Следовательно, радиусом верхнего основания является отрезок $O_1B$.
Ответ: $O_1B$.

812. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его образующая – 8 см. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём цилиндра.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $r = 6$ см, а его образующая $l = 8$ см. В прямом круговом цилиндре высота $h$ равна его образующей, следовательно, $h = 8$ см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$.
Подставим заданные значения:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \pi$ см².
Ответ: $96 \pi$ см².

Площадь поверхности
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($S_{осн}$).
Формула площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}$.
Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.
$S_{осн} = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 = 36 \pi$ см².
Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 96 \pi \text{ см}^2 + 2 \cdot 36 \pi \text{ см}^2 = 96 \pi + 72 \pi = 168 \pi$ см².
Ответ: $168 \pi$ см².

Объём цилиндра
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.
Подставим значения:
$V = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см} = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 288 \pi$ см³.
Ответ: $288 \pi$ см³.

813. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём цилиндра, развёртка которого изображена на рисунке 282 (длины отрезков даны в сантиметрах).

На рисунке изображена развёртка цилиндра, которая состоит из прямоугольника (боковая поверхность) и двух кругов (основания). Проанализируем данные с рисунка, чтобы найти необходимые параметры цилиндра.

• Диаметр основания цилиндра, указанный на круге, равен $d = 10$ см. Отсюда находим радиус основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
• Высота цилиндра $h$ соответствует ширине прямоугольника. Судя по расположению выносных линий, высота прямоугольника равна радиусу круга. Таким образом, $h = r = 5$ см.

Теперь, зная радиус $r=5$ см и высоту $h=5$ см, мы можем вычислить требуемые величины.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) — это площадь прямоугольника в развёртке. Длина этого прямоугольника равна длине окружности основания ($C = 2\pi r$), а его ширина — высоте цилиндра ($h$).

Формула для вычисления площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi r h$.

Подставляем известные значения: $S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 5 = 50\pi$ см².

Ответ: $50\pi$ см².

Площадь поверхности

Полная площадь поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн}$).

Сначала найдём площадь одного основания (круга) по формуле $S_{осн} = \pi r^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Теперь вычислим полную площадь поверхности по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$: $S_{полн} = 50\pi + 2 \cdot 25\pi = 50\pi + 50\pi = 100\pi$ см².

Ответ: $100\pi$ см².

Объём

Объём цилиндра ($V$) вычисляется как произведение площади его основания на высоту.

Формула для вычисления объёма: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.

Подставляем известные значения: $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi$ см³.

Ответ: $125\pi$ см³.

814. Прямоугольник, стороны которого равны 12 см и 5 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь поверхности и объём цилиндра, образовавшегося при этом.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. В данном случае вращение происходит вокруг большей стороны.

Стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см.

Большая сторона, 12 см, становится высотой образовавшегося цилиндра ($h$).

Меньшая сторона, 5 см, становится радиусом основания цилиндра ($r$).

Итак, мы имеем цилиндр с параметрами:

Высота $h = 12$ см.

Радиус $r = 5$ см.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух площадей основания. Формула для вычисления полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \pi r h$.

Площадь основания: $S_{осн} = \pi r^2$.

Таким образом, общая формула: $S_{полн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r(h+r)$.

Подставляем значения $h=12$ и $r=5$:

$S_{полн} = 2 \pi \cdot 5 \cdot (12 + 5) = 10\pi \cdot 17 = 170\pi$ см².

Ответ: площадь поверхности цилиндра равна $170\pi$ см².

Объём

Объём цилиндра вычисляется как произведение площади основания на высоту. Формула для вычисления объёма:

$V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$

Подставляем значения $h=12$ и $r=5$:

$V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi$ см³.

Ответ: объём цилиндра равен $300\pi$ см³.

815. На рисунке 283 изображён конус. Укажите:

1) вершину конуса;

2) центр его основания;

3) образующую конуса;

4) радиус основания конуса;

5) высоту конуса.

Рис. 283

$M$, $O$, $K$

1) вершину конуса;
Вершиной конуса является точка, не лежащая в плоскости основания, из которой исходят все образующие. На данном рисунке это точка $M$.
Ответ: $M$.

2) центр его основания;
Основание конуса — это круг. Центр этого круга является центром основания конуса. На рисунке это точка $O$.
Ответ: $O$.

3) образующую конуса;
Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности основания. На рисунке в качестве примера образующей показан отрезок $MK$.
Ответ: $MK$.

4) радиус основания конуса;
Радиус основания конуса — это отрезок, соединяющий центр основания с точкой на окружности этого основания. На рисунке это отрезок $OK$.
Ответ: $OK$.

5) высоту конуса.
Высота конуса — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. В изображённом прямом конусе высота соединяет вершину с центром основания. Это отрезок $MO$.
Ответ: $MO$.

816. Радиус основания конуса равен 4 см, а его образующая – 7 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi r l$
где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.
По условию задачи даны:
Радиус основания $r = 4$ см.
Образующая $l = 7$ см.
Подставим эти значения в формулу:
$S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 7 = 28\pi$ см².
Ответ: $28\pi$ см².

Площадь поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн}$).
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$
Сначала найдем площадь основания. Основание конуса — это круг, площадь которого вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$
Подставим значение радиуса $r = 4$ см:
$S_{осн} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².
Теперь, зная площадь боковой поверхности ($28\pi$ см²) и площадь основания ($16\pi$ см²), найдем площадь полной поверхности конуса:
$S_{полн} = 28\pi + 16\pi = 44\pi$ см².
Альтернативно, можно использовать формулу $S_{полн} = \pi r(l+r)$:
$S_{полн} = \pi \cdot 4 \cdot (7+4) = 4\pi \cdot 11 = 44\pi$ см².
Ответ: $44\pi$ см².

817. Найдите площадь поверхности конуса, развёртка которого изображена на рисунке 284 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 281

$O_1$, $O$, $A$, $B$

Рис. 282

10

Рис. 283

$M$, $O$, $K$

Рис. 284

10, 6

Площадь полной поверхности конуса представляет собой сумму площади его основания (круга) и площади боковой поверхности (кругового сектора в развёртке).

1. Найдём площадь основания конуса ($S_{осн}$)

Основание конуса — это круг, диаметр которого, согласно рисунку 284, равен $d = 6$ см. Радиус основания $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь основания вычисляется по формуле площади круга $S = \pi r^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см².

2. Найдём площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$)

Боковая поверхность конуса в развёртке является круговым сектором. Радиус этого сектора соответствует образующей конуса $l$. Из рисунка видно, что $l = 10$ см. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Подставим известные значения радиуса основания $r = 3$ см и образующей $l = 10$ см: $S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 10 = 30\pi$ см².

3. Найдём площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$)

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Сложим полученные значения: $S_{полн} = 9\pi + 30\pi = 39\pi$ см².

Ответ: $39\pi$ см².

818. Найдите объём конуса, высота которого равна 12 см, а радиус основания – 3 см.

Для нахождения объёма конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $V$ – это объём, $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

Высота конуса $H = 12$ см.

Радиус основания конуса $R = 3$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 12 \text{ см}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Возведём радиус в квадрат: $R^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

2. Подставим полученное значение обратно в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см}$

3. Умножим числовые значения:

$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 12 \cdot \pi \text{ см}^3$

$V = 3 \cdot 12 \cdot \pi \text{ см}^3$

$V = 36\pi \text{ см}^3$

Ответ: $36\pi \text{ см}^3$.