Номер 813, страница 209 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

813. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём цилиндра, развёртка которого изображена на рисунке 282 (длины отрезков даны в сантиметрах).

На рисунке изображена развёртка цилиндра, которая состоит из прямоугольника (боковая поверхность) и двух кругов (основания). Проанализируем данные с рисунка, чтобы найти необходимые параметры цилиндра.

• Диаметр основания цилиндра, указанный на круге, равен $d = 10$ см. Отсюда находим радиус основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
• Высота цилиндра $h$ соответствует ширине прямоугольника. Судя по расположению выносных линий, высота прямоугольника равна радиусу круга. Таким образом, $h = r = 5$ см.

Теперь, зная радиус $r=5$ см и высоту $h=5$ см, мы можем вычислить требуемые величины.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) — это площадь прямоугольника в развёртке. Длина этого прямоугольника равна длине окружности основания ($C = 2\pi r$), а его ширина — высоте цилиндра ($h$).

Формула для вычисления площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi r h$.

Подставляем известные значения: $S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 5 = 50\pi$ см².

Ответ: $50\pi$ см².

Площадь поверхности

Полная площадь поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн}$).

Сначала найдём площадь одного основания (круга) по формуле $S_{осн} = \pi r^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Теперь вычислим полную площадь поверхности по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$: $S_{полн} = 50\pi + 2 \cdot 25\pi = 50\pi + 50\pi = 100\pi$ см².

Ответ: $100\pi$ см².

Объём

Объём цилиндра ($V$) вычисляется как произведение площади его основания на высоту.

Формула для вычисления объёма: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.

Подставляем известные значения: $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 5 = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi$ см³.

Ответ: $125\pi$ см³.