Номер 797, страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

797. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой призмы, изображённой на рисунке 269 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 269

а

Для призмы а):

Высота призмы $h = 10$ см.

Стороны основания (треугольника) $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

Периметр основания $P_б = a + b + c$.

Площадь основания $S_б$ (по формуле Герона): $p = \frac{a+b+c}{2}$, $S_б = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_б \cdot h$.

Площадь полной поверхности $S_{пов} = S_{бок} + 2S_б$.

Объём призмы $V = S_б \cdot h$.

б

Для призмы б):

Высота призмы $h = 9$ см.

Стороны основания (параллелограмма) $a = 6$ см, $b = 8$ см.

Угол между сторонами основания $\alpha = 30^\circ$ или $\alpha = 150^\circ$.

Периметр основания $P_б = 2(a+b)$.

Площадь основания $S_б = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P_б \cdot h$.

Площадь полной поверхности $S_{пов} = S_{бок} + 2S_б$.

Объём призмы $V = S_б \cdot h$.

а

Данная фигура – прямая треугольная призма. В её основании лежит треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см. Высота призмы $h = 10$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания.
Найдем периметр основания: $P_{осн} = 13 + 14 + 15 = 42$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 42 \cdot 10 = 420$ см².

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь основания ($S_{осн}$) найдем по формуле Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.
Полупериметр: $p = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
$S_{осн} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².
Следовательно, площадь полной поверхности: $S_{полн} = 420 + 2 \cdot 84 = 420 + 168 = 588$ см².

Объём ($V$) призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$.
$V = 84 \cdot 10 = 840$ см³.

Ответ: площадь боковой поверхности – 420 см², площадь полной поверхности – 588 см², объём – 840 см³.

б

Это прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм. Стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 8$ см, а угол между ними $\alpha = 150^\circ$. Высота призмы $h = 9$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Периметр параллелограмма: $P_{осн} = 2(a+b) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 28 \cdot 9 = 252$ см².

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь основания (параллелограмма) вычисляется по формуле $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\alpha$.
$S_{осн} = 6 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см².
Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 252 + 2 \cdot 24 = 252 + 48 = 300$ см².

Объём ($V$) призмы равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$.
$V = 24 \cdot 9 = 216$ см³.

Ответ: площадь боковой поверхности – 252 см², площадь полной поверхности – 300 см², объём – 216 см³.