Номер 795, страница 203 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

795. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём прямой треугольной призмы, основанием которой является правильный треугольник со стороной 6 см, а боковое ребро равно 4 см.

Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.
Основанием призмы является правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Периметр такого треугольника равен:
$P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Так как призма прямая, её боковое ребро является высотой, то есть $h = 4$ см.
Теперь найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 18 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$.
Ответ: $72 \text{ см}^2$.

Площадь поверхности
Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.
Площадь боковой поверхности мы уже нашли: $S_{бок} = 72 \text{ см}^2$.
Теперь найдём площадь основания ($S_{осн}$). Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.
Подставим наши значения:
$S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Теперь вычислим площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 72 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 72 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $(72 + 18\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

Объём
Объём прямой призмы ($V$) вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$.
Мы уже знаем площадь основания $S_{осн} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$ и высоту $h = 4$ см.
Вычислим объём:
$V = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 36\sqrt{3} \text{ см}^3$.
Ответ: $36\sqrt{3} \text{ см}^3$.