Страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

766. Окружность с центром O касается прямой a. Докажите, что образ этой окружности при гомотетии с центром A, где A – произвольная точка прямой a (рис. 241), касается этой прямой.

766.

Пусть $\omega$ — данная окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Прямая $a$ касается окружности $\omega$, следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно $R$. Обозначим это расстояние как $d(O, a) = R$.

Рассмотрим гомотетию с центром $A$ на прямой $a$ и коэффициентом $k$. Образом окружности $\omega$ при этой гомотетии является окружность $\omega'$.

Центром окружности $\omega'$ является точка $O'$ — образ точки $O$. По определению гомотетии, $\vec{AO'} = k \cdot \vec{AO}$. Радиус окружности $\omega'$ равен $R' = |k| \cdot R$.

Чтобы доказать, что окружность $\omega'$ касается прямой $a$, нужно показать, что расстояние от её центра $O'$ до прямой $a$ равно её радиусу $R'$, то есть $d(O', a) = R'$.

Так как центр гомотетии $A$ лежит на прямой $a$, то прямая $a$ является инвариантной относительно этой гомотетии, то есть переходит сама в себя.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на прямую $a$. Тогда $H$ лежит на прямой $a$, и $OH = d(O, a) = R$.

При гомотетии с центром $A$ точка $O$ переходит в точку $O'$, а точка $H$ переходит в точку $H'$, которая также лежит на прямой $a$. Вектор $\vec{OH}$ переходит в вектор $\vec{O'H'}$, причем $\vec{O'H'} = k \cdot \vec{OH}$.

Из последнего векторного равенства следует, что прямые $O'H'$ и $OH$ параллельны. Так как $OH \perp a$, то и $O'H' \perp a$. Следовательно, длина отрезка $O'H'$ есть расстояние от точки $O'$ до прямой $a$.

Длина отрезка $O'H'$ равна: $d(O', a) = O'H' = |k| \cdot OH = |k| \cdot R$.

Таким образом, мы получили, что расстояние от центра новой окружности до прямой $a$ равно $d(O', a) = |k| \cdot R$. В то же время, радиус новой окружности $R' = |k| \cdot R$.

Поскольку $d(O', a) = R'$, окружность $\omega'$ касается прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

767.

Даны точки: центр гомотетии $M(4; 0)$, прообраз $B(8; 6)$ и его образ $A(2; -3)$. Пусть $k$ — искомый коэффициент гомотетии.

Определение гомотетии в векторной форме записывается как $\vec{MA} = k \cdot \vec{MB}$.

Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$:

$\vec{MA} = (A_x - M_x; A_y - M_y) = (2 - 4; -3 - 0) = (-2; -3)$.

$\vec{MB} = (B_x - M_x; B_y - M_y) = (8 - 4; 6 - 0) = (4; 6)$.

Подставим координаты векторов в формулу гомотетии:$(-2; -3) = k \cdot (4; 6)$.

Это векторное равенство равносильно системе уравнений для каждой из координат:

$\begin{cases} -2 = k \cdot 4 \\ -3 = k \cdot 6 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $k$:

$k = \frac{-2}{4} = -0,5$.

Из второго уравнения также находим $k$:

$k = \frac{-3}{6} = -0,5$.

Так как значения $k$, полученные из обоих уравнений, совпадают, коэффициент гомотетии найден верно.

Ответ: -0,5.

767. Точка A $(2; -3)$ – образ точки B $(8; 6)$ при гомотетии с центром M $(4; 0)$. Найдите коэффициент гомотетии.

При гомотетии с центром в точке $M$ и коэффициентом $k$, точка $B$ переходит в точку $A$ таким образом, что выполняется векторное равенство $\vec{MA} = k \cdot \vec{MB}$.

Нам даны координаты точек: $A(2; -3)$, $B(8; 6)$ и центр гомотетии $M(4; 0)$.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{MB}$ и $\vec{MA}$.

Координаты вектора $\vec{MB}$ вычисляются как разность координат его конца (точки $B$) и начала (точки $M$):

$\vec{MB} = (x_B - x_M; y_B - y_M) = (8 - 4; 6 - 0) = (4; 6)$

Аналогично найдем координаты вектора $\vec{MA}$:

$\vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M) = (2 - 4; -3 - 0) = (-2; -3)$

Теперь подставим координаты векторов в основное равенство гомотетии $\vec{MA} = k \cdot \vec{MB}$:

$(-2; -3) = k \cdot (4; 6)$

Это векторное равенство можно расписать как систему двух уравнений для соответствующих координат:

1. Для первых координат (абсцисс): $-2 = k \cdot 4$

2. Для вторых координат (ординат): $-3 = k \cdot 6$

Решим первое уравнение относительно $k$:

$k = \frac{-2}{4} = -0.5$

Решим второе уравнение относительно $k$:

$k = \frac{-3}{6} = -0.5$

Так как значения коэффициента $k$, найденные из обоих уравнений, совпадают, то искомый коэффициент гомотетии равен $-0.5$.

Ответ: $-0.5$

768. Точка $A (-7; 10)$ – образ точки $B (-1; -2)$ при гомотетии с коэффициентом $-2$. Найдите центр гомотетии.

Пусть $C(x_0; y_0)$ — искомый центр гомотетии. По определению гомотетии, если точка $A(x'; y')$ является образом точки $B(x; y)$ при гомотетии с центром $C(x_0; y_0)$ и коэффициентом $k$, то выполняются следующие равенства для их координат:

$x' = x_0 + k(x - x_0)$

$y' = y_0 + k(y - y_0)$

Согласно условию задачи, имеем:

• Координаты точки $B$: $x = -1$, $y = -2$.
• Координаты её образа, точки $A$: $x' = -7$, $y' = 10$.
• Коэффициент гомотетии: $k = -2$.

Подставим эти значения в формулы, чтобы найти неизвестные координаты центра $x_0$ и $y_0$. Это дает нам систему из двух уравнений:

$\begin{cases} -7 = x_0 + (-2)(-1 - x_0) \\ 10 = y_0 + (-2)(-2 - y_0) \end{cases}$

Теперь решим каждое уравнение системы отдельно.

Решим первое уравнение относительно $x_0$:

$-7 = x_0 + 2 + 2x_0$

$-7 = 3x_0 + 2$

$-9 = 3x_0$

$x_0 = \frac{-9}{3} = -3$

Решим второе уравнение относительно $y_0$:

$10 = y_0 + 4 + 2y_0$

$10 = 3y_0 + 4$

$6 = 3y_0$

$y_0 = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, координаты центра гомотетии $C$ равны $(-3; 2)$.

Ответ: $(-3; 2)$

769. Точка $A_1 (x; 4)$ – образ точки $A (-6; y)$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:

1) $k = \frac{1}{2}$;

2) $k = -2$.

Найдите $x$ и $y$.

Гомотетия с центром в начале координат (точке $O(0;0)$) и коэффициентом $k$ преобразует точку $A(x_A; y_A)$ в точку $A_1(x_{A1}; y_{A1})$ по следующим формулам:

$x_{A1} = k \cdot x_A$

$y_{A1} = k \cdot y_A$

По условию задачи, точка $A$ имеет координаты $(-6; y)$, а ее образ, точка $A_1$, имеет координаты $(x; 4)$.

Следовательно, мы можем составить систему уравнений:

$x = k \cdot (-6)$

$4 = k \cdot y$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $k = \frac{1}{2}$

Подставим значение коэффициента $k$ в систему уравнений:

$x = \frac{1}{2} \cdot (-6)$

$4 = \frac{1}{2} \cdot y$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = -3$

Из второго уравнения находим $y$:

$y = 4 \cdot 2 = 8$

Ответ: $x = -3, y = 8$.

2) $k = -2$

Подставим значение коэффициента $k$ в систему уравнений:

$x = -2 \cdot (-6)$

$4 = -2 \cdot y$

Из первого уравнения находим $x$:

$x = 12$

Из второго уравнения находим $y$:

$y = \frac{4}{-2} = -2$

Ответ: $x = 12, y = -2$.

770. Точка $A_1 (4; y)$ – образ точки $A (x; -4)$ при гомотетии с центром $B (1; -1)$ и коэффициентом $k = -3$. Найдите $x$ и $y$.

При гомотетии с центром в точке $B(x_B; y_B)$ и коэффициентом $k$, точка $A(x_A; y_A)$ переходит в точку $A_1(x_{A_1}; y_{A_1})$, причем выполняется векторное равенство $\vec{BA_1} = k \cdot \vec{BA}$. В координатах это равенство записывается в виде системы двух уравнений:

$x_{A_1} - x_B = k \cdot (x_A - x_B)$

$y_{A_1} - y_B = k \cdot (y_A - y_B)$

В соответствии с условием задачи, имеем следующие данные:

• Координаты исходной точки $A$: $(x; -4)$.
• Координаты образа $A_1$: $(4; y)$.
• Координаты центра гомотетии $B$: $(1; -1)$.
• Коэффициент гомотетии $k$: $-3$.

Подставим эти значения в уравнения и решим их относительно $x$ и $y$.

Нахождение x

Используем уравнение для абсцисс (координат $x$):

$x_{A_1} - x_B = k \cdot (x_A - x_B)$

Подставляем известные значения: $x_{A_1} = 4$, $x_B = 1$, $x_A = x$.

$4 - 1 = -3 \cdot (x - 1)$

$3 = -3(x - 1)$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$-1 = x - 1$

Из этого следует, что:

$x = 0$

Нахождение y

Используем уравнение для ординат (координат $y$):

$y_{A_1} - y_B = k \cdot (y_A - y_B)$

Подставляем известные значения: $y_{A_1} = y$, $y_B = -1$, $y_A = -4$.

$y - (-1) = -3 \cdot (-4 - (-1))$

$y + 1 = -3 \cdot (-4 + 1)$

$y + 1 = -3 \cdot (-3)$

$y + 1 = 9$

Вычтем $1$ из обеих частей:

$y = 9 - 1$

$y = 8$

Ответ: $x = 0$, $y = 8$.

771. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию, площадь которой равна $21 \text{ см}^2$. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть дан некоторый треугольник, обозначим его $S_{ABC}$. Средняя линия отсекает от него малый треугольник, который подобен исходному.

Пусть средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Тогда она отсекает треугольник $MBN$. Этот треугольник подобен исходному треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон. Поскольку $M$ и $N$ — середины сторон, то $BM = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, отношение площади малого треугольника ($S_{MBN}$) к площади исходного треугольника ($S_{ABC}$) равно: $$ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ Это означает, что $S_{MBN} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Средняя линия отсекает от треугольника трапецию. Площадь этой трапеции ($S_{трап}$) равна разности площадей исходного треугольника и малого отсеченного треугольника: $$ S_{трап} = S_{ABC} - S_{MBN} $$ Подставив найденное соотношение площадей, получим: $$ S_{трап} = S_{ABC} - \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC} $$

По условию, площадь трапеции равна 21 см². Используем это для нахождения площади исходного треугольника: $$ 21 = \frac{3}{4}S_{ABC} $$ $$ S_{ABC} = \frac{21 \cdot 4}{3} $$ $$ S_{ABC} = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см}^2 $$

Ответ: 28 см².

772. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BM = 4$ см, $AC = 8$ см, $AM = MK$, а площадь треугольника $MBK$ равна $5$ см$^2$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBK$.

Поскольку по условию прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ ($MK \parallel AC$), то треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($△MBK \sim △ABC$). Это следует из равенства углов: $\angle B$ — общий для обоих треугольников, а $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AB}{BM} = \frac{AC}{MK}$

Сторону $AB$ можно выразить как сумму отрезков $AM$ и $BM$: $AB = AM + BM$. Подставим известные значения и соотношения в пропорцию: $BM = 4$ см, $AC = 8$ см, $AM = MK$. Обозначим длину $AM$ (и $MK$) как $x$.

$\frac{x + 4}{4} = \frac{8}{x}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$x(x + 4) = 4 \cdot 8$

$x^2 + 4x = 32$

$x^2 + 4x - 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -8$. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x = 4$.

Таким образом, $AM = 4$ см и $MK = 4$ см.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия можно найти как отношение соответственных сторон:

$k = \frac{AC}{MK} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = k^2 = 2^2 = 4$

Отсюда можем выразить площадь треугольника $ABC$, зная, что площадь треугольника $MBK$ равна 5 см²:

$S_{ABC} = S_{MBK} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см².

Ответ: 20 см².

773. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 3 : 5$, а площадь треугольника $AED$ равна $175\text{ см}^2$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle AED$ и $\triangle BEC$.

По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BEC$ и $\triangle AED$. Угол $\angle E$ является общим для обоих треугольников. Углы $\angle EBC$ и $\angle EAD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AE$. Аналогично, $\angle ECB$ и $\angle EDA$ равны как соответственные углы при тех же параллельных прямых и секущей $DE$. Следовательно, треугольник $\triangle BEC$ подобен треугольнику $\triangle AED$ по первому признаку подобия (по двум углам).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон. В нашем случае: $k = \frac{BC}{AD}$

Из условия задачи известно, что $BC : AD = 3 : 5$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{5}$.

Найдем отношение площадей этих треугольников: $\frac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle AED}} = k^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

Площадь треугольника $\triangle AED$ дана и равна $S_{\triangle AED} = 175$ см². Теперь мы можем найти площадь треугольника $\triangle BEC$: $S_{\triangle BEC} = S_{\triangle AED} \cdot \frac{9}{25} = 175 \cdot \frac{9}{25} = 7 \cdot 9 = 63$ см².

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей большого треугольника $\triangle AED$ и малого треугольника $\triangle BEC$: $S_{ABCD} = S_{\triangle AED} - S_{\triangle BEC} = 175 - 63 = 112$ см².

Ответ: 112 см².

Рис. 242

774. На рисунке 242 изображён план школы. Вычислите, какую площадь занимает школа, если план начерчен в масштабе $1 : 2000$. Длина стороны клетки равна $0,5 \text{ см}$.

773. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Таким образом, образуются два треугольника: $BEC$ и $AED$.

Поскольку $BC \parallel AD$, треугольник $BEC$ подобен треугольнику $AED$ (по двум углам: $\angle E$ — общий, $\angle EBC = \angle EAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AE$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BEC}}{S_{AED}} = k^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

Нам известна площадь треугольника $AED$, $S_{AED} = 175$ см². Используя это, найдем площадь треугольника $BEC$:

$S_{BEC} = S_{AED} \cdot \frac{9}{25} = 175 \cdot \frac{9}{25} = 7 \cdot 9 = 63$ см².

Площадь трапеции $ABCD$ является разностью площадей треугольника $AED$ и треугольника $BEC$:

$S_{ABCD} = S_{AED} - S_{BEC} = 175 - 63 = 112$ см².

Ответ: 112 см².

774. Сначала вычислим площадь фигуры, изображенной на плане, в единицах клеток.

Фигуру можно представить как большой прямоугольник размером $8 \times 5$ клеток, из которого вырезан прямоугольник размером $3 \times 3$ клетки.
Площадь большого прямоугольника: $S_1 = 8 \times 5 = 40$ клеток.
Площадь вырезанного прямоугольника: $S_2 = 3 \times 3 = 9$ клеток.
Площадь фигуры на плане: $S_{план} = S_1 - S_2 = 40 - 9 = 31$ клетка.

Теперь определим, какую реальную площадь представляет одна клетка на плане.
Длина стороны одной клетки на плане равна 0,5 см.
Масштаб плана 1 : 2000, это означает, что 1 см на плане соответствует 2000 см в реальности.
Найдем реальную длину стороны одной клетки:
$L_{реал} = 0,5 \text{ см} \times 2000 = 1000$ см.
Переведем сантиметры в метры: $1000 \text{ см} = 10$ м.

Теперь найдем реальную площадь, соответствующую одной клетке:

$S_{клетка} = (L_{реал})^2 = (10 \text{ м})^2 = 100$ м².

Наконец, вычислим реальную площадь, которую занимает школа, умножив количество клеток на реальную площадь одной клетки:

$S_{школы} = 31 \times S_{клетка} = 31 \times 100 \text{ м}^2 = 3100$ м².

Ответ: 3100 м².

775. Найдите образ прямой $y = 2x + 1$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:

1) $k = 2$;

2) $k = -\frac{1}{2}$.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0, 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x', y')$, где:

$x' = kx$
$y' = ky$

Чтобы найти уравнение образа прямой $y = 2x + 1$, мы можем выразить исходные координаты $(x, y)$ через новые $(x', y')$:

$x = \frac{x'}{k}$
$y = \frac{y'}{k}$

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение прямой:

$\frac{y'}{k} = 2 \left( \frac{x'}{k} \right) + 1$

Умножим все члены уравнения на $k$, чтобы избавиться от знаменателя:

$y' = 2x' + k$

Это общее уравнение для образа прямой. Теперь мы можем найти уравнение для каждого заданного коэффициента $k$.

1) k = 2

Подставим значение $k = 2$ в общее уравнение образа $y' = 2x' + k$:

$y' = 2x' + 2$

Уравнение искомой прямой (опуская штрихи) имеет вид $y = 2x + 2$.

Ответ: $y = 2x + 2$

2) k = -1/2

Подставим значение $k = -\frac{1}{2}$ в общее уравнение образа $y' = 2x' + k$:

$y' = 2x' - \frac{1}{2}$

Уравнение искомой прямой (опуская штрихи) имеет вид $y = 2x - \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = 2x - \frac{1}{2}$

776. Найдите образ окружности $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 4$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:

1) $k = \frac{1}{2}$;

2) $k = -2$.

Исходное уравнение окружности: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 4$.

Это уравнение окружности с центром в точке $C(-2, 4)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит окружность в окружность. Центр гомотетии находится в начале координат $O(0, 0)$.

При гомотетии с центром $O(0, 0)$ и коэффициентом $k$, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(kx, ky)$.

Образом окружности при гомотетии является окружность. Центр новой окружности $C'$ является образом центра исходной окружности $C$, а новый радиус $R'$ вычисляется по формуле $R' = |k| \cdot R$.

Уравнение новой окружности имеет вид $(x - x_C')^2 + (y - y_C')^2 = (R')^2$, где $(x_C', y_C')$ - координаты нового центра.

1) $k = \frac{1}{2}$

Найдем координаты нового центра $C'$, являющегося образом центра $C(-2, 4)$:

$x_C' = k \cdot x_C = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$

$y_C' = k \cdot y_C = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Таким образом, новый центр — точка $C'(-1, 2)$.

Найдем новый радиус $R'$:

$R' = |k| \cdot R = |\frac{1}{2}| \cdot 2 = 1$

Теперь запишем уравнение новой окружности с центром $C'(-1, 2)$ и радиусом $R' = 1$:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$.

2) $k = -2$

Найдем координаты нового центра $C'$:

$x_C' = k \cdot x_C = -2 \cdot (-2) = 4$

$y_C' = k \cdot y_C = -2 \cdot 4 = -8$

Таким образом, новый центр — точка $C'(4, -8)$.

Найдем новый радиус $R'$:

$R' = |k| \cdot R = |-2| \cdot 2 = 4$

Теперь запишем уравнение новой окружности с центром $C'(4, -8)$ и радиусом $R' = 4$:

$(x - 4)^2 + (y - (-8))^2 = 4^2$

$(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$.