Номер 776, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

776. Найдите образ окружности $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 4$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом:

1) $k = \frac{1}{2}$;

2) $k = -2$.

Исходное уравнение окружности: $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 4$.

Это уравнение окружности с центром в точке $C(-2, 4)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит окружность в окружность. Центр гомотетии находится в начале координат $O(0, 0)$.

При гомотетии с центром $O(0, 0)$ и коэффициентом $k$, точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(kx, ky)$.

Образом окружности при гомотетии является окружность. Центр новой окружности $C'$ является образом центра исходной окружности $C$, а новый радиус $R'$ вычисляется по формуле $R' = |k| \cdot R$.

Уравнение новой окружности имеет вид $(x - x_C')^2 + (y - y_C')^2 = (R')^2$, где $(x_C', y_C')$ - координаты нового центра.

1) $k = \frac{1}{2}$

Найдем координаты нового центра $C'$, являющегося образом центра $C(-2, 4)$:

$x_C' = k \cdot x_C = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$

$y_C' = k \cdot y_C = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Таким образом, новый центр — точка $C'(-1, 2)$.

Найдем новый радиус $R'$:

$R' = |k| \cdot R = |\frac{1}{2}| \cdot 2 = 1$

Теперь запишем уравнение новой окружности с центром $C'(-1, 2)$ и радиусом $R' = 1$:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$.

2) $k = -2$

Найдем координаты нового центра $C'$:

$x_C' = k \cdot x_C = -2 \cdot (-2) = 4$

$y_C' = k \cdot y_C = -2 \cdot 4 = -8$

Таким образом, новый центр — точка $C'(4, -8)$.

Найдем новый радиус $R'$:

$R' = |k| \cdot R = |-2| \cdot 2 = 4$

Теперь запишем уравнение новой окружности с центром $C'(4, -8)$ и радиусом $R' = 4$:

$(x - 4)^2 + (y - (-8))^2 = 4^2$

$(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$.