Номер 781, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

781. Даны треугольник $ABC$ и произвольная точка $M$. Докажите, что точки, симметричные точке $M$ относительно середин сторон треугольника $ABC$, являются вершинами треугольника, равного данному.

Пусть дан треугольник $ABC$ и произвольная точка $M$. Обозначим середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Пусть точки $M_A$, $M_B$ и $M_C$ являются симметричными точке $M$ относительно середин $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Это означает, что $A_1$ — середина отрезка $MM_A$, $B_1$ — середина отрезка $MM_B$, и $C_1$ — середина отрезка $MM_C$.

Для доказательства того, что треугольник $M_A M_B M_C$ равен треугольнику $ABC$, мы воспользуемся признаком равенства треугольников по трём сторонам (SSS). Для этого нам нужно показать, что стороны одного треугольника соответственно равны сторонам другого.

1. Найдём длину стороны $M_A M_B$.
Рассмотрим треугольник $\triangle MM_A M_B$. По построению, точка $A_1$ является серединой стороны $MM_A$, а точка $B_1$ — серединой стороны $MM_B$. Следовательно, отрезок $A_1 B_1$ является средней линией треугольника $\triangle MM_A M_B$. По свойству средней линии, она равна половине третьей стороны, то есть $A_1 B_1 = \frac{1}{2} M_A M_B$, откуда следует, что $M_A M_B = 2 A_1 B_1$.

Теперь рассмотрим исходный треугольник $\triangle ABC$. В нём отрезок $A_1 B_1$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Таким образом, $A_1 B_1$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, $A_1 B_1 = \frac{1}{2} AB$.

Сопоставив оба результата, получаем: $M_A M_B = 2 A_1 B_1 = 2 \cdot (\frac{1}{2} AB) = AB$.

2. Найдём длину стороны $M_B M_C$.
Рассуждая аналогично, рассмотрим $\triangle MM_B M_C$. Отрезок $B_1 C_1$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $MM_B$ и $MM_C$. Значит, $M_B M_C = 2 B_1 C_1$.В $\triangle ABC$ отрезок $B_1 C_1$ является средней линией, соединяющей середины сторон $AC$ и $AB$, поэтому $B_1 C_1 = \frac{1}{2} BC$.Отсюда $M_B M_C = 2 B_1 C_1 = 2 \cdot (\frac{1}{2} BC) = BC$.

3. Найдём длину стороны $M_C M_A$.
Точно так же, для $\triangle MM_C M_A$ отрезок $C_1 A_1$ является средней линией, откуда $M_C M_A = 2 C_1 A_1$.В $\triangle ABC$ отрезок $C_1 A_1$ — средняя линия, соединяющая середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому $C_1 A_1 = \frac{1}{2} AC$.Следовательно, $M_C M_A = 2 C_1 A_1 = 2 \cdot (\frac{1}{2} AC) = AC$.

Таким образом, мы показали, что стороны треугольника $\triangle M_A M_B M_C$ соответственно равны сторонам треугольника $\triangle ABC$:

• $M_A M_B = AB$
• $M_B M_C = BC$
• $M_C M_A = AC$

По признаку равенства треугольников по трём сторонам, $\triangle M_A M_B M_C \cong \triangle ABC$. Это означает, что треугольник, образованный точками, симметричными точке $M$ относительно середин сторон треугольника $ABC$, равен данному треугольнику.

Ответ: Утверждение доказано.