Номер 784, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

784. Впишите в данный треугольник $ABC$ прямоугольник, стороны которого относятся как $2 : 1$, так, чтобы две вершины большей стороны прямоугольника лежали на стороне $AC$ треугольника, а две другие вершины – на сторонах $AB$ и $BC$.

Для решения этой задачи на построение воспользуемся методом гомотетии. Решение состоит из анализа, построения, доказательства и исследования.

Анализ

Пусть искомый прямоугольник $KLMN$ построен. Его вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$, вершина $N$ – на стороне $AB$, а вершина $M$ – на стороне $BC$. По условию, сторона, лежащая на $AC$, является большей, то есть $KL > NK$. Отношение сторон равно $KL : NK = 2 : 1$.

Поскольку $KLMN$ – прямоугольник, его сторона $NM$ параллельна стороне $KL$, а значит, и стороне $AC$ треугольника. Стороны $NK$ и $ML$ перпендикулярны $KL$, а значит, и $AC$.

Идея состоит в том, чтобы сначала построить вспомогательный прямоугольник, который имеет такое же соотношение сторон и ориентацию, как искомый, а затем с помощью гомотетии преобразовать его в требуемый прямоугольник. В качестве центра гомотетии удобно выбрать вершину треугольника. Выберем вершину $A$, так как на сторонах, выходящих из нее ($AB$ и $AC$), должны лежать три вершины искомого прямоугольника ($N$, $K$ и $L$).

Мы построим вспомогательный прямоугольник $K_1L_1M_1N_1$, у которого вершина $N_1$ лежит на $AB$, вершины $K_1$ и $L_1$ лежат на $AC$, а стороны имеют соотношение $K_1L_1 : N_1K_1 = 2 : 1$. При этом вершина $M_1$, в общем случае, не будет лежать на стороне $BC$. Затем, применив гомотетию с центром в точке $A$, мы "растянем" или "сожмем" этот прямоугольник так, чтобы его вершина, соответствующая $M_1$, попала на сторону $BC$.

Построение

1. На стороне $AB$ данного треугольника $ABC$ выберем произвольную точку $N_1$.
2. Из точки $N_1$ опустим перпендикуляр $N_1K_1$ на сторону $AC$. Точка $K_1$ лежит на $AC$.
3. На луче $AC$ от точки $K_1$ в сторону точки $C$ отложим отрезок $K_1L_1$ так, чтобы его длина была вдвое больше длины отрезка $N_1K_1$, то есть $K_1L_1 = 2 \cdot N_1K_1$.
4. Построим прямоугольник $K_1L_1M_1N_1$. Для этого из точки $L_1$ восстановим перпендикуляр к $AC$ и проведем прямую через $N_1$ параллельно $AC$. Точка пересечения этих прямых будет вершиной $M_1$.
5. Проведем луч из вершины $A$ через точку $M_1$.
6. Точка пересечения луча $AM_1$ со стороной $BC$ является вершиной $M$ искомого прямоугольника.
7. Из точки $M$ проведем прямую, параллельную $AC$, до пересечения со стороной $AB$. Точка пересечения является вершиной $N$.
8. Из точек $N$ и $M$ опустим перпендикуляры $NK$ и $ML$ на сторону $AC$. Точки $K$ и $L$ являются оставшимися вершинами.
9. Прямоугольник $KLMN$ – искомый.

Доказательство

По построению (пункты 7 и 8) четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником: $NM \parallel AC$ (следовательно $NM \parallel KL$), а $NK \perp AC$ и $ML \perp AC$. Также $NK$ и $ML$ равны и параллельны.

Вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$. Вершина $N$ лежит на стороне $AB$. Вершина $M$ лежит на стороне $BC$. Все это выполнено по построению.

Осталось доказать, что стороны прямоугольника $KLMN$ относятся как $2 : 1$. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $A$. По построению (пункт 6), точка $M$ лежит на луче $AM_1$. Гомотетия с центром $A$, переводящая точку $M_1$ в $M$, переведет и весь прямоугольник $K_1L_1M_1N_1$ в четырехугольник $KLMN$. Действительно:

• $N_1$ лежит на $AB$, значит, ее образ $N$ тоже будет лежать на $AB$.
• $K_1$ и $L_1$ лежат на $AC$, значит, их образы $K$ и $L$ тоже будут лежать на $AC$.
• Прямая $N_1M_1$ перейдет в параллельную ей прямую $NM$.
• Прямая $N_1K_1$ перейдет в параллельную ей прямую $NK$.

Таким образом, $KLMN$ — образ $K_1L_1M_1N_1$ при гомотетии. Гомотетия сохраняет отношение длин соответствующих отрезков. Следовательно, отношение сторон прямоугольника $KLMN$ такое же, как и у прямоугольника $K_1L_1M_1N_1$:

$ \frac{KL}{NK} = \frac{K_1L_1}{N_1K_1} $

По построению (пункт 3) мы взяли $K_1L_1 = 2 \cdot N_1K_1$.

Следовательно, $KL = 2 \cdot NK$, то есть $KL : NK = 2 : 1$. Большая сторона $KL$ лежит на стороне $AC$. Таким образом, прямоугольник $KLMN$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если луч $AM_1$ пересекает отрезок $BC$. Точка $N_1$ выбирается на стороне $AB$ произвольно (не совпадая с $A$, чтобы избежать вырождения). При любом таком выборе $N_1$ мы получаем невырожденный вспомогательный прямоугольник $K_1L_1M_1N_1$. Вершина $M_1$ оказывается внутри угла $BAC$. Луч $AM_1$ также проходит внутри этого угла. Поскольку отрезок $BC$ соединяет точки на сторонах этого угла, луч $AM_1$ обязательно пересечет отрезок $BC$ в некоторой единственной точке $M$.

Поскольку точка $M$ определяется однозначно, все последующие построения (нахождение вершин $N, K, L$) также однозначны. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение для любого невырожденного треугольника $ABC$.

Ответ: Искомый прямоугольник строится методом гомотетии, как описано в пунктах "Построение" и "Доказательство". Построение всегда возможно и единственно.