Номер 790, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

790. Две окружности касаются внешним образом в точке A, точки B и C – точки касания с этими окружностями их общей касательной. Докажите, что $\angle BAC$ – прямой.

Проведем через точку A, являющуюся точкой касания двух окружностей, их общую внутреннюю касательную. Пусть эта касательная пересекает общую внешнюю касательную (на которой лежат точки B и C) в точке M.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от этой точки до точек касания равны. Применим это свойство для точки M и каждой из окружностей.

1. Для первой окружности и точки M отрезки касательных — это MA и MB. Следовательно, их длины равны: $MA = MB$.

2. Для второй окружности и точки M отрезки касательных — это MA и MC. Следовательно, их длины равны: $MA = MC$.

Из этих двух равенств следует, что $MA = MB = MC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $MA = MB$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MAB = \angle MBA$. Обозначим величину этих углов за $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Так как $MA = MC$, он также является равнобедренным. Углы при его основании равны: $\angle MAC = \angle MCA$. Обозначим величину этих углов за $\beta$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

Углы этого треугольника можно выразить через $\alpha$ и $\beta$:

• $\angle BAC$ состоит из двух углов, $\angle MAB$ и $\angle MAC$, поэтому $\angle BAC = \alpha + \beta$.
• $\angle ABC$ это то же самое, что и $\angle MBA$, поэтому $\angle ABC = \alpha$.
• $\angle BCA$ это то же самое, что и $\angle MCA$, поэтому $\angle BCA = \beta$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов треугольника:

$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Поскольку мы определили, что $\angle BAC = \alpha + \beta$, то отсюда следует, что $\angle BAC = 90^\circ$.

Таким образом, доказано, что угол $\angle BAC$ — прямой.

Ответ: Доказано, что $\angle BAC$ является прямым.