Номер 786, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

786. Даны две точки $A$ и $B$ и прямая $l$. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников $ABC$, где $C$ – произвольная точка прямой $l$.

Пусть $A$ и $B$ — данные точки, а $l$ — данная прямая. Пусть $C$ — произвольная точка на прямой $l$, а $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Нам нужно найти геометрическое место точек $M$.

Обозначим через $K$ середину отрезка $AB$. Так как точки $A$ и $B$ фиксированы, то точка $K$ также является фиксированной точкой. Отрезок $CK$ является медианой треугольника $ABC$.

По свойству медиан треугольника, точка их пересечения $M$ лежит на медиане $CK$ и делит её в отношении $2:1$, считая от вершины. То есть, $CM : MK = 2 : 1$.

Это соотношение можно выразить в виде векторного равенства. Для векторов, отложенных от точки $K$, имеем:$$ \vec{KM} = \frac{1}{3}\vec{KC} $$

Это равенство означает, что точка $M$ является образом точки $C$ при гомотетии (гомотетичном преобразовании) с центром в фиксированной точке $K$ и коэффициентом $k = \frac{1}{3}$.

Поскольку точка $C$ может быть любой точкой прямой $l$, искомое геометрическое место точек $M$ является образом всей прямой $l$ при этой гомотетии.

Преобразование гомотетии переводит любую прямую в прямую, ей параллельную. Следовательно, образом прямой $l$ будет некоторая прямая $l'$, параллельная прямой $l$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это прямая, параллельная данной прямой $l$. В частном случае, если прямая $l$ проходит через середину отрезка $AB$ (точку $K$), то искомая прямая совпадает с прямой $l$, что не противоречит общему выводу.

Ответ: Прямая, параллельная данной прямой $l$.