Номер 782, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

782. Постройте треугольник по двум его углам и радиусу описанной окружности.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим его углы как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, а радиус описанной окружности как $R$. Нам даны два угла, пусть это будут $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, и радиус $R$. Третий угол треугольника $\angle C = \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ лежат на описанной окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Стороны треугольника $AB$, $BC$, $AC$ являются хордами этой окружности.

Согласно свойству о соотношении вписанных и центральных углов, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Отсюда следует:

• Центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на хорду $BC$, равен удвоенному вписанному углу $\angle BAC$: $\angle BOC = 2\alpha$.
• Центральный угол $\angle AOC$, опирающийся на хорду $AC$, равен удвоенному вписанному углу $\angle ABC$: $\angle AOC = 2\beta$.
• Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на хорду $AB$, равен удвоенному вписанному углу $\angle ACB$: $\angle AOB = 2\gamma = 2(180^\circ - \alpha - \beta)$.

Этот анализ дает нам четкий план построения: необходимо построить описанную окружность, а затем, откладывая от центра удвоенные углы треугольника, найти его вершины на этой окружности.

Построение

1. Возьмем произвольную точку $O$ на плоскости и построим окружность с центром $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$.
2. На окружности выберем произвольную точку $A$. Это будет первая вершина искомого треугольника.
3. Найдем третий угол треугольника $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Это можно сделать, построив на прямой от одного луча углы $\alpha$ и $\beta$ в одну полуплоскость; тогда угол, дополняющий их сумму до развернутого угла, будет равен $\gamma$.
4. Построим центральный угол $\angle AOB$, равный $2\gamma$. Для этого от луча $OA$ отложим угол, равный $2\gamma$ (это делается последовательным построением двух углов $\gamma$). Точка пересечения второй стороны угла с окружностью будет вершиной $B$.
5. Аналогично, построим центральный угол $\angle AOC = 2\beta$. От луча $OA$ в полуплоскость, не содержащую точку $B$, отложим угол, равный $2\beta$. Точка пересечения второй стороны угла с окружностью будет вершиной $C$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса $R$ с центром в $O$, так как все его вершины $A, B, C$ по построению лежат на этой окружности.

Найдем углы этого треугольника, используя свойство вписанных углов:

• Угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, по построению равен $\angle AOB = 2\gamma$. Следовательно, $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \gamma$.
• Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, по построению равен $\angle AOC = 2\beta$. Следовательно, $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \beta$.
• Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Подставляя $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$, получаем $\angle BAC = 180^\circ - (\beta + 180^\circ - \alpha - \beta) = \alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет углы, равные данным углам $\alpha$ и $\beta$, и радиус его описанной окружности равен $R$.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма двух данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если это условие не выполняется, треугольник с такими углами не существует. Если условие выполнено, то третий угол $\gamma$ положителен, и построение всегда возможно.

Выбор начальной точки $A$ на окружности, а также выбор полуплоскостей для откладывания углов, влияет только на положение и ориентацию треугольника на плоскости, но не на его форму и размеры. Все треугольники, построенные по данному алгоритму, будут равны друг другу (конгруэнтны). Следовательно, при условии $\alpha + \beta < 180^\circ$ задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Алгоритм построения треугольника по двум заданным углам и радиусу описанной окружности изложен выше. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если сумма данных углов меньше $180^\circ$.