Номер 777, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

777. Две окружности касаются внутренним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ (рис. 243). Докажите, что $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Рис. 243

Обозначим точку касания двух окружностей буквой $M$. Согласно условию задачи, через точку $M$ проведены две прямые. Одна прямая пересекает меньшую окружность в точке $A_1$ и большую в точке $A_2$. Другая прямая пересекает меньшую окружность в точке $B_1$ и большую в точке $B_2$. Это означает, что точки $M, A_1, A_2$ лежат на одной прямой, а точки $M, B_1, B_2$ — на другой.

Проведем через общую точку касания $M$ общую касательную $m$ к обеим окружностям.

Рассмотрим меньшую окружность. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $m$ и хордой $MB_1$ равен величине вписанного угла, опирающегося на дугу, стягиваемую этой хордой. Таким вписанным углом является $\angle MA_1B_1$. Следовательно, мы можем записать равенство:

$\angle(m, MB_1) = \angle MA_1B_1$

Теперь рассмотрим большую окружность. Применяя ту же теорему, получаем, что угол между касательной $m$ и хордой $MB_2$ равен вписанному углу $\angle MA_2B_2$:

$\angle(m, MB_2) = \angle MA_2B_2$

Так как точки $M, B_1, B_2$ лежат на одной прямой, хорды $MB_1$ и $MB_2$ также лежат на одной и той же прямой. Поэтому углы, которые они образуют с касательной $m$, равны между собой:

$\angle(m, MB_1) = \angle(m, MB_2)$

Из трех приведенных выше равенств следует, что:

$\angle MA_1B_1 = \angle MA_2B_2$

Углы $\angle MA_1B_1$ и $\angle MA_2B_2$ являются соответственными при прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и секущей $A_2M$. Поскольку эти соответственные углы равны, то, по признаку параллельности двух прямых, прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны.

Ответ: Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны, что и требовалось доказать.