Номер 778, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

778. Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ (рис. 244). Докажите, что $A_1 B_1 \parallel A_2 B_2$.

Рис. 244

Пусть $K$ — точка касания двух окружностей. Согласно условию задачи, через точку $K$ проведены две прямые. Первая прямая пересекает первую окружность в точке $A_1$ и вторую в точке $A_2$. Вторая прямая пересекает первую окружность в точке $B_1$ и вторую в точке $B_2$. Таким образом, точки $A_1, K, A_2$ лежат на одной прямой, и точки $B_1, K, B_2$ лежат на другой. Требуется доказать, что хорда $A_1B_1$ параллельна хорде $A_2B_2$.

Доказательство:

Проведём через точку касания $K$ общую касательную $m$ к обеим окружностям.

Рассмотрим первую окружность. По теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной $m$ и хордой $KA_1$, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключённую между касательной и хордой. Этим углом является $\angle KB_1A_1$. Следовательно, мы можем записать равенство: $\angle(m, KA_1) = \angle KB_1A_1$.

Аналогичные рассуждения применим ко второй окружности. Угол между касательной $m$ и хордой $KA_2$ равен вписанному углу $\angle KB_2A_2$: $\angle(m, KA_2) = \angle KB_2A_2$.

Поскольку точки $A_1$, $K$ и $A_2$ лежат на одной прямой, углы, образованные прямой $A_1A_2$ и касательной $m$ в точке $K$, являются вертикальными, а значит, равными. Таким образом, $\angle(m, KA_1) = \angle(m, KA_2)$.

Объединяя полученные равенства, мы приходим к выводу, что $\angle KB_1A_1 = \angle KB_2A_2$.

Рассмотрим прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$, а также прямую $B_1B_2$ в качестве секущей. Углы $\angle KB_1A_1$ и $\angle KB_2A_2$ являются накрест лежащими углами. Так как мы доказали, что эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны.

Таким образом, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.