Номер 771, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

771. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию, площадь которой равна $21 \text{ см}^2$. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть дан некоторый треугольник, обозначим его $S_{ABC}$. Средняя линия отсекает от него малый треугольник, который подобен исходному.

Пусть средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Тогда она отсекает треугольник $MBN$. Этот треугольник подобен исходному треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон. Поскольку $M$ и $N$ — середины сторон, то $BM = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, отношение площади малого треугольника ($S_{MBN}$) к площади исходного треугольника ($S_{ABC}$) равно: $$ \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ Это означает, что $S_{MBN} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Средняя линия отсекает от треугольника трапецию. Площадь этой трапеции ($S_{трап}$) равна разности площадей исходного треугольника и малого отсеченного треугольника: $$ S_{трап} = S_{ABC} - S_{MBN} $$ Подставив найденное соотношение площадей, получим: $$ S_{трап} = S_{ABC} - \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC} $$

По условию, площадь трапеции равна 21 см². Используем это для нахождения площади исходного треугольника: $$ 21 = \frac{3}{4}S_{ABC} $$ $$ S_{ABC} = \frac{21 \cdot 4}{3} $$ $$ S_{ABC} = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см}^2 $$

Ответ: 28 см².