Номер 772, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

772. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BM = 4$ см, $AC = 8$ см, $AM = MK$, а площадь треугольника $MBK$ равна $5$ см$^2$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBK$.

Поскольку по условию прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ ($MK \parallel AC$), то треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($△MBK \sim △ABC$). Это следует из равенства углов: $\angle B$ — общий для обоих треугольников, а $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AB}{BM} = \frac{AC}{MK}$

Сторону $AB$ можно выразить как сумму отрезков $AM$ и $BM$: $AB = AM + BM$. Подставим известные значения и соотношения в пропорцию: $BM = 4$ см, $AC = 8$ см, $AM = MK$. Обозначим длину $AM$ (и $MK$) как $x$.

$\frac{x + 4}{4} = \frac{8}{x}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$x(x + 4) = 4 \cdot 8$

$x^2 + 4x = 32$

$x^2 + 4x - 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -8$. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x = 4$.

Таким образом, $AM = 4$ см и $MK = 4$ см.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия можно найти как отношение соответственных сторон:

$k = \frac{AC}{MK} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = k^2 = 2^2 = 4$

Отсюда можем выразить площадь треугольника $ABC$, зная, что площадь треугольника $MBK$ равна 5 см²:

$S_{ABC} = S_{MBK} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см².

Ответ: 20 см².