Номер 779, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

779. Точка A принадлежит окружности (рис. 245). Найдите геометрическое место точек, являющихся серединами хорд данной окружности, одним из концов которых является точка A.

Рис. 243

Рис. 244

Рис. 245

Решение:

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ — фиксированная точка на этой окружности.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, где $B$ — любая точка на окружности $\omega$. Пусть точка $M$ — середина хорды $AB$. Нам необходимо найти геометрическое место точек $M$ при всевозможном выборе точки $B$ на окружности.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности, то $OA = OB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$. Значит, $OM$ — медиана треугольника $\triangle OAB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp AB$.

Таким образом, для любой хорды $AB$ угол $\angle OMA$ является прямым (за исключением вырожденного случая, когда $B$ совпадает с $A$). Множество всех точек $M$, таких что $\angle OMA = 90^\circ$, представляет собой окружность, построенную на отрезке $OA$ как на диаметре.

Рассмотрим два предельных случая:

1. Когда точка $B$ совпадает с точкой $A$, хорда $AB$ вырождается в точку $A$. Серединой такой "хорды" является сама точка $A$. Точка $A$ принадлежит окружности с диаметром $OA$.

2. Когда точка $B$ является диаметрально противоположной точке $A$, хорда $AB$ — это диаметр исходной окружности. Ее середина — центр $O$ исходной окружности. Точка $O$ также принадлежит окружности с диаметром $OA$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это окружность, диаметром которой является отрезок $OA$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, построенная на отрезке $OA$ как на диаметре, где $O$ — центр данной окружности.