Номер 780, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

780. Две окружности касаются внутренним образом, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, меньшая окружность делит пополам.

Обозначим большую окружность как $ \Omega_1 $, её центр как $ O_1 $, а её радиус как $ R $. Обозначим меньшую окружность как $ \Omega_2 $, её центр как $ O_2 $, а её радиус как $ r $.

Согласно условию, окружности касаются внутренним образом. Пусть $ A $ — точка их касания. При внутреннем касании точка касания $ A $ и центры окружностей $ O_1 $ и $ O_2 $ лежат на одной прямой.

Также по условию, меньшая окружность $ \Omega_2 $ проходит через центр большей окружности $ O_1 $. Это значит, что точка $ O_1 $ лежит на окружности $ \Omega_2 $. Расстояние от центра $ O_2 $ до любой точки на окружности $ \Omega_2 $ равно радиусу $ r $. Следовательно, расстояние между центрами $ O_1O_2 = r $.

Так как точки $ A, O_2, O_1 $ лежат на одной прямой в указанном порядке, радиус большей окружности $ R $ (равный отрезку $ AO_1 $) можно выразить как сумму длин отрезков $ AO_2 $ и $ O_2O_1 $. Отрезок $ AO_2 $ — это радиус меньшей окружности $ r $. Таким образом, получаем: $ R = AO_1 = AO_2 + O_2O_1 = r + r = 2r $.

Из этого следует, что отрезок $ AO_1 $, соединяющий точку касания $ A $ с центром большой окружности $ O_1 $, имеет длину $ 2r $ и проходит через центр $ O_2 $ меньшей окружности. Следовательно, $ AO_1 $ является диаметром меньшей окружности $ \Omega_2 $.

Теперь рассмотрим произвольную хорду $ AB $ большей окружности $ \Omega_1 $, которая проходит через точку касания $ A $. Эта хорда пересекает меньшую окружность $ \Omega_2 $ в двух точках: в точке $ A $ и в некоторой другой точке, которую мы обозначим $ M $. Нам необходимо доказать, что точка $ M $ делит хорду $ AB $ пополам, то есть $ AM = MB $.

Рассмотрим точки $ A, M, O_1 $, лежащие на меньшей окружности $ \Omega_2 $. Угол $ \angle AMO_1 $ является вписанным углом в окружность $ \Omega_2 $, который опирается на диаметр $ AO_1 $. По свойству угла, опирающегося на диаметр, он является прямым. Таким образом, $ \angle AMO_1 = 90^\circ $.

Это означает, что отрезок $ O_1M $ перпендикулярен хорде $ AB $ (то есть $ O_1M \perp AB $).

Теперь вернемся к большей окружности $ \Omega_1 $. В ней $ AB $ является хордой, $ O_1 $ — её центром, а $ O_1M $ — это отрезок, проведенный из центра к точке $ M $ на хорде, причем он перпендикулярен этой хорде. По свойству окружности, прямая, проходящая через центр и перпендикулярная хорде, делит эту хорду пополам.

Следовательно, точка $ M $ является серединой хорды $ AB $, и $ AM = MB $. Утверждение доказано.

Ответ: Любая хорда большей окружности, проходящая через точку касания, делится меньшей окружностью пополам.