Номер 785, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

785. Отрезок $AB$ – хорда данной окружности, точка $C$ – произвольная точка этой окружности. Найдите геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников $ABC$.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ и $B$ — фиксированные точки на этой окружности (концы хорды), а $C$ — произвольная точка на той же окружности.

Обозначим через $M$ точку пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Нам нужно найти геометрическое место точек $M$ при движении точки $C$ по окружности $\omega$.

Пусть $K$ — середина хорды $AB$. Так как точки $A$ и $B$ фиксированы, точка $K$ также является фиксированной.

Медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$, — это отрезок $CK$. По свойству точки пересечения медиан, центроид $M$ лежит на медиане $CK$ и делит её в отношении $CM : MK = 2:1$.

Это означает, что точка $M$ всегда находится на отрезке $CK$ таким образом, что её расстояние от точки $K$ составляет одну треть от длины всего отрезка $CK$, то есть $KM = \frac{1}{3}KC$.

Данное соотношение можно описать с помощью гомотетии (преобразования подобия). Точка $M$ является образом точки $C$ при гомотетии с центром в фиксированной точке $K$ и коэффициентом $k = \frac{1}{3}$.

Поскольку точка $C$ описывает окружность $\omega$, то искомое геометрическое место точек $M$ является образом этой окружности при указанной гомотетии.

Образом окружности при гомотетии является другая окружность. Найдем параметры этой новой окружности, которую обозначим $\omega'$:

1. Центр окружности $\omega'$. Центр новой окружности, точка $O'$, является образом центра исходной окружности $O$ при той же гомотетии. Это значит, что точка $O'$ лежит на отрезке $KO$ и делит его в отношении $1:2$, то есть $KO' = \frac{1}{3}KO$.
2. Радиус окружности $\omega'$. Радиус $R'$ новой окружности равен радиусу исходной окружности $R$, умноженному на модуль коэффициента гомотетии:$R' = |k| \cdot R = \frac{1}{3}R$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек $M$ — это окружность $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $R' = \frac{R}{3}$.

Важно отметить, что когда точка $C$ совпадает с точкой $A$ или $B$, треугольник $ABC$ вырождается в отрезок, и понятие точки пересечения медиан для него не определено. Поэтому из искомого множества точек следует исключить образы точек $A$ и $B$ при нашей гомотетии. Эти исключенные точки будут лежать на окружности $\omega'$.

Ответ:Искомое геометрическое место точек является окружностью, полученной из данной окружности гомотетией с центром в середине хорды $AB$ и коэффициентом $\frac{1}{3}$. Центр этой окружности делит отрезок, соединяющий середину хорды $AB$ с центром данной окружности, в отношении $1:2$, а её радиус в 3 раза меньше радиуса данной окружности. Из этой окружности исключены две точки, соответствующие положениям точки $C$, когда она совпадает с $A$ или $B$.