Номер 788, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

788. Найдите площадь ромба и радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 12 см и 16 см.

Площадь ромба

Площадь ромба ($S$) можно найти как половину произведения его диагоналей ($d_1$ и $d_2$).

Формула для вычисления площади ромба:

$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$

По условию, диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь ромба равна 96 см².

Радиус вписанной окружности

Чтобы найти радиус вписанной окружности ($r$), сначала определим длину стороны ромба ($a$). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, образуя четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей, а гипотенуза является стороной ромба.

Длины катетов равны:

$\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см

$\frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$:

$a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$a = \sqrt{100} = 10$ см

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

Используя найденную ранее площадь $S = 96$ см² и сторону $a = 10$ см, найдем высоту $h$:

$h = \frac{S}{a} = \frac{96}{10} = 9.6$ см

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8$ см

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 4.8 см.