Номер 783, страница 189 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

783. Постройте треугольник по двум его углам и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам даны два его угла, например, $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, и радиус вписанной окружности $r$. Центр вписанной окружности, точка $I$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Расстояние от точки $I$ до каждой из сторон треугольника равно $r$.

Рассмотрим треугольник $AIB$, образованный двумя вершинами и центром вписанной окружности. Углы этого треугольника равны $\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\beta}{2}$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины $I$ на сторону $AB$, является радиусом вписанной окружности. Обозначим основание этой высоты как $F$. Тогда $IF = r$ и $IF \perp AB$.

В прямоугольном треугольнике $AIF$ имеем $\angle AIF = 90^\circ - \angle IAF = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BIF$ имеем $\angle BIF = 90^\circ - \angle IBF = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

Эти соотношения позволяют нам построить треугольник $AIB$ и, следовательно, весь треугольник $ABC$, поскольку стороны $AC$ и $BC$ являются касательными к вписанной окружности, проведенными из вершин $A$ и $B$.

Построение

1. Выберем на плоскости произвольную точку $I$ и построим окружность $\omega$ с центром в точке $I$ и заданным радиусом $r$.
2. Проведем произвольную прямую $l$, касательную к окружности $\omega$. Обозначим точку касания $F$. На этой прямой будет лежать сторона $AB$ искомого треугольника. Для построения касательной проведем радиус $IF$ и построим в точке $F$ прямую $l$, перпендикулярную $IF$.
3. Построим углы, равные $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$, используя построение биссектрисы для данных углов $\alpha$ и $\beta$.
4. От луча $IF$ в разные стороны построим лучи из точки $I$ так, чтобы они образовывали с $IF$ углы, равные $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\beta}{2}$.
5. Точки пересечения этих лучей с прямой $l$ обозначим как $A$ и $B$. Это две вершины искомого треугольника.
6. Из точки $A$ проведем вторую касательную к окружности $\omega$ (отличную от прямой $AB$).
7. Из точки $B$ проведем вторую касательную к окружности $\omega$ (отличную от прямой $AB$).
8. Точка пересечения этих двух касательных, $C$, является третьей вершиной треугольника.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

По построению, окружность $\omega$ с центром $I$ и радиусом $r$ касается трех сторон построенного треугольника $ABC$ (в точке $F$ на стороне $AB$ и в двух других точках на сторонах $AC$ и $BC$). Следовательно, $\omega$ является вписанной окружностью для $\triangle ABC$, и ее радиус равен заданному $r$.

Теперь докажем, что углы треугольника равны заданным. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AIF$ ($\angle IFA = 90^\circ$). По построению, $\angle FIA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle IAF = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку $I$ — центр вписанной окружности, луч $AI$ является биссектрисой угла $CAB$. Следовательно, $\angle CAB = 2 \cdot \angle IAF = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Аналогично для треугольника $\triangle BIF$ ($\angle IFB = 90^\circ$), по построению $\angle FIB = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$. Тогда $\angle IBF = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = \frac{\beta}{2}$. Луч $BI$ является биссектрисой угла $ABC$, поэтому $\angle ABC = 2 \cdot \angle IBF = 2 \cdot \frac{\beta}{2} = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет два угла, равные $\alpha$ и $\beta$, и радиус вписанной окружности, равный $r$, что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда заданные величины $\alpha$ и $\beta$ могут являться углами треугольника, то есть должны выполняться условия: $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Если эти условия соблюдены, построение всегда возможно. Лучи $IA$ и $IB$ всегда пересекут касательную $l$, так как углы, под которыми они строятся к перпендикуляру $IF$, меньше $90^\circ$. Точки $A$ и $B$ будут лежать вне окружности $\omega$, что позволяет провести из них вторые касательные. Эти касательные (стороны $AC$ и $BC$) не будут параллельны, так как сумма углов $\alpha + \beta < 180^\circ$, и, следовательно, пересекутся в третьей вершине $C$.

Все треугольники, построенные данным способом, будут равны между собой (конгруэнтны). Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение с точностью до его положения на плоскости.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника, основанный на свойствах вписанной окружности, представлен выше. Построение однозначно определяет треугольник с точностью до конгруэнтности при условии, что сумма заданных углов меньше $180^\circ$.