Номер 787, страница 190 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

787. Точка $M$ принадлежит углу $ABC$, но не принадлежит его сторонам. Постройте окружность, которая касается сторон угла и проходит через точку $M$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом гомотетии (подобия). Идея состоит в том, чтобы сначала построить любую окружность, касающуюся сторон угла, а затем, используя ее как образец, построить искомую окружность, проходящую через точку $M$.

Анализ
Центр любой окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Это свойство следует из того, что центр окружности должен быть равноудален от сторон угла. Обозначим искомый центр как $O$, а радиус как $R$. Тогда $O$ лежит на биссектрисе угла $ABC$, и расстояние от $O$ до точки $M$ равно $R$. Также расстояние от $O$ до сторон угла $BA$ и $BC$ равно $R$.

Рассмотрим вспомогательную окружность, которая также касается сторон угла $ABC$. Ее центр $O'$ также лежит на биссектрисе угла $ABC$. Все такие окружности гомотетичны друг другу с центром гомотетии в вершине угла $B$. Это означает, что искомую окружность можно получить из любой вспомогательной окружности путем преобразования гомотетии с центром в точке $B$.

Точка $M$, лежащая на искомой окружности, должна быть образом некоторой точки $M'$, лежащей на вспомогательной окружности, при этой гомотетии. Точки $B$, $M'$ и $M$ должны лежать на одной прямой. Это дает нам ключ к построению.

Построение

1. Проведем биссектрису $l$ угла $ABC$. Все центры окружностей, касающихся сторон угла, будут лежать на этой прямой.
2. Выберем на биссектрисе $l$ произвольную точку $O'$ (не совпадающую с $B$) и построим вспомогательную окружность, касающуюся сторон угла. Для этого из точки $O'$ опустим перпендикуляр $O'K'$ на одну из сторон угла (например, на $BA$). Окружность с центром в $O'$ и радиусом $R' = O'K'$ будет касаться обеих сторон угла.
3. Проведем луч $BM$. Этот луч пересечет вспомогательную окружность в двух точках. Назовем их $M_1'$ и $M_2'$.
4. Рассмотрим точку $M_1'$. Искомая окружность гомотетична вспомогательной, и при этой гомотетии точка $M_1'$ переходит в $M$. Соответственно, центр вспомогательной окружности $O'$ переходит в центр искомой окружности $O_1$. Радиус $O'M_1'$ при этом переходит в радиус $O_1M$, причем $O_1M \parallel O'M_1'$.
5. Для нахождения центра $O_1$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную отрезку $O'M_1'$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $l$ и будет искомым центром $O_1$.
6. Аналогично, для нахождения центра второй возможной окружности $O_2$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную отрезку $O'M_2'$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $l$ даст нам центр $O_2$.
7. Построим две окружности: первую с центром $O_1$ и радиусом $R_1 = O_1M$, вторую — с центром $O_2$ и радиусом $R_2 = O_2M$.

Доказательство
Рассмотрим одну из построенных окружностей, например, с центром $O_1$. По построению она проходит через точку $M$. Докажем, что она касается сторон угла.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $B$, которая переводит точку $M_1'$ в точку $M$. Так как точки $B$, $O'$, $O_1$ лежат на одной прямой (биссектрисе $l$) и $O_1M \parallel O'M_1'$, то треугольники $\triangle BO'M_1'$ и $\triangle BO_1M$ подобны. Следовательно, эта гомотетия переводит точку $O'$ в $O_1$.

Таким образом, окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1M$ является образом вспомогательной окружности (с центром $O'$ и радиусом $O'M_1'$) при данной гомотетии. Поскольку вспомогательная окружность касалась сторон угла $BA$ и $BC$, то и ее образ — построенная окружность — также будет касаться этих сторон.

Аналогичное доказательство проводится и для второй окружности с центром $O_2$. Таким образом, задача, как правило, имеет два решения.

Ответ: Описанный выше алгоритм построения позволяет найти центры и радиусы двух окружностей, удовлетворяющих условию задачи.