Номер 1, страница 193 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой из отрезков, изображённых на рисунке 250, может быть образом отрезка $AB$ при движении?

А) $MN$

Б) $PQ$

В) $EF$

Г) $DC$

Рис. 250

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Следовательно, образом отрезка при движении является отрезок, равный данному. Чтобы найти, какой из предложенных отрезков может быть образом отрезка $AB$, необходимо вычислить их длины и сравнить с длиной $AB$.

Примем сторону одной клетки за единицу. Длину отрезка на координатной плоскости можно найти по теореме Пифагора, как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами, равными проекциям отрезка на оси.

Сначала найдем длину исходного отрезка $AB$. Его проекция на горизонтальную ось составляет 2 клетки, а на вертикальную — 1 клетку. Длина $AB$ равна: $L_{AB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь последовательно найдем длины остальных отрезков и сравним их с $L_{AB}$.

А) MN. Проекция отрезка $MN$ на горизонтальную ось равна 3, на вертикальную — 0. Длина $MN$ равна: $L_{MN} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$. Поскольку $3 \neq \sqrt{5}$, этот вариант не подходит.

Б) PQ. Проекция отрезка $PQ$ на горизонтальную ось равна 1, на вертикальную — 2. Длина $PQ$ равна: $L_{PQ} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. Поскольку $L_{PQ} = L_{AB}$, этот вариант является верным.

В) EF. Проекция отрезка $EF$ на горизонтальную ось равна 0, на вертикальную — 2. Длина $EF$ равна: $L_{EF} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$. Поскольку $2 \neq \sqrt{5}$, этот вариант не подходит.

Г) DC. Проекция отрезка $DC$ на горизонтальную ось равна 2, на вертикальную — 3. Длина $DC$ равна: $L_{DC} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$. Поскольку $\sqrt{13} \neq \sqrt{5}$, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственный отрезок, длина которого равна длине отрезка $AB$, — это отрезок $PQ$.

Ответ: Б) PQ